Encontre o núcleo e a imagem de cada uma das transformações lineares abaixo, fornecendo uma base para cada um destes subespaços vetoriais.
(f) T: M2(R) R^5 dada por
T([ll a & b c & d ])=(b+d,-a, b-c, 2 a-d, c+d)

Passo 1

O enunciado define
Queremos encontrar e e fornecer uma base de cada subespaço.

Passo 2

Calculamos
De .
De com segue .
De e (com ) segue .
Portanto , isto é,

Passo 3

Para achar Im(T), aplicamos T em uma base natural de M2(R). Seja
E11=1&00&0,; E12=0&10&0,; E21=0&01&0,; E22=0&00&1
Calculamos:
T(E11)=(0,-1,0,2,0), T(E12)=(1,0,1,0,0),
T(E21)=(0,0,-1,0,1), T(E22)=(1,0,0,-1,1)

Passo 4

Verificamos que os quatro vetores
v1=(0,-1,0,2,0),; v2=(1,0,1,0,0),; v3=(0,0,-1,0,1),; v4=(1,0,0,-1,1)
são linearmente independentes em R^5. Logo eles formam uma base de Im(T) e dimIm(T)=4.

Resposta

(base vazia).
, com

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