Encontre o núcleo e a imagem de cada uma das transformações lineares abaixo, fornecendo uma base para cada um destes subespaços vetoriais.
(f)
dada por
(f)
Passo 1
O enunciado define
Queremos encontrar
e
e fornecer uma base de cada subespaço.
Passo 2
Calculamos
De .
De
com
segue
.
De e
(com
) segue
.
Portanto , isto é,
De
Portanto
Passo 3
Para achar
, aplicamos
em uma base natural de
. Seja
Calculamos:
Passo 4
Verificamos que os quatro vetores
são linearmente independentes em
. Logo eles formam uma base de
e
.
Resposta
, com