Questão 9: Seja B=(1,1,0),(1,0,1),(0,2,1). Usando o processo de Gram-Schmidt, ache uma base ortonormal para R^3 .

Passo 1

O enunciado pede para, a partir da base B=(1,1,0),(1,0,1),(0,2,1) de R^3, aplicar o processo de Gram–Schmidt para obter uma base ortonormal. Vamos usar produto interno padrão e projeção ortogonal.

Passo 2

Primeiro vetor: seja v1=(1,1,0). A norma é
|v1|=raiz1^2+1^2+0^2=raiz2
Logo o primeiro vetor ortonormal é
e1=v1|v1|=l(tfrac1raiz2,,tfrac1raiz2,,0r)

Passo 3

Segundo vetor: seja v2=(1,0,1). Projetamos v2 sobre e1:
proje1v2=llang<= v2,e1rrang<=,e1 =1cdot1raiz2+0cdot1raiz2+1cdot01;e1 =1raiz2,e1 =l(tfrac12,tfrac12,0r)
Subtraímos para obter o componente ortogonal:
w2=v2-proje1v2 =l(1,0,1r)-l(tfrac12,tfrac12,0r) =l(tfrac12,-tfrac12,1r)
A norma de w2 é
|w2|=raizl(tfrac12r)^2+l(-tfrac12r)^2+1^2 =raiztfrac14+tfrac14+1=raiztfrac32=raiz62
Normalizando, vem
e2=w2|w2| =l(tfrac1/2raiz3/2,;-tfrac1/2raiz3/2,;tfrac1raiz3/2r) =l(tfrac1raiz6,,-tfrac1raiz6,,tfrac2raiz6r)

Passo 4

Terceiro vetor: seja v3=(0,2,1). Projetamos sobre e1 e e2:
lang<= v3,e1rang<= =0cdottfrac1raiz2+2cdottfrac1raiz2+1cdot0 =raiz2, lang<= v3,e2rang<= =0cdottfrac1raiz6+2cdotl(-tfrac1raiz6r)+1cdottfrac2raiz6 =0
Logo
proje1v3=raiz2,e1=(1,1,0), proje2v3=0
O componente ortogonal é
w3=v3-proje1v3=(0,2,1)-(1,1,0)=(-1,1,1)
Como |w3|=raiz(-1)^2+1^2+1^2=raiz3, obtemos
e3=w3|w3|=l(-tfrac1raiz3,,tfrac1raiz3,,tfrac1raiz3r)

Resposta

e1=l(tfrac1raiz2,,tfrac1raiz2,,0r), e2=l(tfrac1raiz6,,-tfrac1raiz6,,tfrac2raiz6r), e3=l(-tfrac1raiz3,,tfrac1raiz3,,tfrac1raiz3r)

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