Encontre o núcleo e a imagem de cada uma das transformações lineares abaixo, fornecendo uma base para cada um destes subespaços vetoriais.
(g)
dada por
(g)
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
e pede o núcleo (kernel) e a imagem (range) de
, fornecendo uma base para cada subespaço. Vamos usar a definição de núcleo como o conjunto de vetores que vão em zero e a de imagem como o subespaço gerado pelos valores de
.
Passo 2
Para achar
Isto vale se, e somente se, os coeficientes forem nulos:
Da segunda equação segue (b=-a].
Passo 3
Portanto os vetores do núcleo são todos da forma
Uma base de
é
Passo 4
Para a imagem, note que um polinômio genérico em
é
onde
e
variam livremente em
. Logo esses polinômios englobam todo
, que tem dimensão
, com base usual