Encontre o núcleo e a imagem de cada uma das transformações lineares abaixo, fornecendo uma base para cada um destes subespaços vetoriais.
(g) T: R^3 P1(R) dada por
T(a, b, c)=c+(a+b) t

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
Tcolon R^3toP1(R), T(a,b,c)=c+(a+b),t
e pede o núcleo (kernel) e a imagem (range) de T, fornecendo uma base para cada subespaço. Vamos usar a definição de núcleo como o conjunto de vetores que vão em zero e a de imagem como o subespaço gerado pelos valores de T.

Passo 2

Para achar
Isto vale se, e somente se, os coeficientes forem nulos:
Da segunda equação segue (b=-a].

Passo 3

Portanto os vetores do núcleo são todos da forma
(a,b,c)=(a,,-a,,0)=a,(1,-1,0)
Uma base de ker(T) é
(1,-1,0)

Passo 4

Para a imagem, note que um polinômio genérico em Im(T) é
c+(a+b),t,
onde c e a+b variam livremente em R. Logo esses polinômios englobam todo P1(R), que tem dimensão 2, com base usual
1,,t

Resposta

ker(T)=span(1,-1,0), \quad
Im(T)=P1(R)=span1,,t

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