Encontre o núcleo e a imagem de cada uma das transformações lineares abaixo, fornecendo uma base para cada um destes subespaços vetoriais.
(h) T: C^2 R^2 dada por
T(x+i y, z+i w)=(x+2 z,-x+2 w)

Passo 1

O enunciado define
;Tcolon C^2toR^2
por
T(x+iy,;z+iw) ;=;(x+2z,;-,x+2w),
onde x,y,z,winR.
Queremos o núcleo ker TsubsetC^2 e a imagem Im TsubsetR^2, junto com bases para cada um.

Passo 2

Para trabalhar, identificamos com pelas coordenadas
Então
pode ser vista como o produto

Passo 3

O núcleo é o conjunto de
Da primeira equação vem .
O parâmetro fica livre.
Logo
Em coordenadas em isso equivale a
Assim

Passo 4

A imagem de é o espaço gerado pelas linhas (ou pelas colunas não-nulas) da matriz. Como as duas linhas
e são linearmente independentes, .
Como e , segue que
Uma base explícita pode ser obtida tomando, por exemplo,
logo

Resposta

ker T=spanRl(i,0),;(-2,,1-i)r, Im T=R^2=span(1,-1),,(2,0)

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