Encontre o núcleo e a imagem de cada uma das transformações lineares abaixo, fornecendo uma base para cada um destes subespaços vetoriais.
(h)
dada por
(h)
Passo 1
O enunciado define
por
por
onde
.
Queremos o núcleo e a imagem
, junto com bases para cada um.
Queremos o núcleo
Passo 2
Para trabalhar, identificamos
com
pelas coordenadas
Então
pode ser vista como o produto
Passo 3
O núcleo é o conjunto de
Da primeira equação vem .
O parâmetro fica livre.
Logo
O parâmetro
Logo
Em coordenadas em
isso equivale a
Assim
Passo 4
A imagem de
é o espaço gerado pelas linhas (ou pelas colunas não-nulas) da matriz. Como as duas linhas
e
são linearmente independentes, .
Como e
, segue que
Como
Uma base explícita pode ser obtida tomando, por exemplo,
logo