Questão 16: Encontre o cos θ, onde θ é o ângulo entre:
.

Passo 1

O enunciado pede o cosseno do ângulo theta entre as matrizes
A = 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 e B = 9 & 8 & 7 6 & 5 & 4,
usando o produto interno de Frobenius definido por lang<= A,Brang<= = tr(B^T A). Para isso, vamos precisar
  1. calcular lang<= A,Brang<=,
  2. calcular as normas |A| e |B| e
  3. usar a fórmula
costheta = lang<= A,Brang<=|A|;|B|

Passo 2

O produto interno de Frobenius pode ser escrito como soma dos produtos entrada a entrada:
lang<= A,Brang<= = sumi=1^2sumj=1^3 Aij,Bij
Então basta multiplicar cada elemento correspondente de A e B e somar tudo.

Passo 3

Vamos efetuar a soma:
lang<= A,Brang<= &= 1cdot9 + 2cdot8 + 3cdot7 + 4cdot6 + 5cdot5 + 6cdot4 &= 9 + 16 + 21 + 24 + 25 + 24 &= 119

Passo 4

A norma de Frobenius de uma matriz M é
|M| = raizsumi,j Mij^2
Assim,
|A| = raiz1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2 = raiz91,
|B| = raiz9^2+8^2+7^2+6^2+5^2+4^2 = raiz271

Passo 5

Substituindo na fórmula do cosseno,
costheta = lang<= A,Brang<=|A|;|B| = 119raiz91,raiz271 = 119raiz91cdot271

Resposta

costheta = 119raiz91cdot271

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