Encontre o núcleo da transformação linear
definida por:
e verifique se T é um isomorfismo de
em
.
Passo 1
O enunciado define uma transformação linear
por
O que precisamos é (1) encontrar o núcleo de
e (2) verificar se
é isomorfismo. Para isso usaremos a definição de núcleo e o Teorema do Núcleo e da Imagem (ou argumento de dimensões).
Passo 2
O núcleo de
é o conjunto de
tais que
é o polinômio zero. Igualamos cada coeficiente a zero:
Passo 3
Da primeira equação segue
. Da segunda,
. Substituindo em
temos
Logo
e
.
Passo 4
Concluímos que a única solução é
. Portanto
Passo 5
Para verificar se
é isomorfismo, note que
e
. Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem,
Como
, segue
, ou seja,
é bijetora e, portanto, um isomorfismo.