(2,0) Encontre o núcleo da transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow P_{2}(\mathbb{R}) definida por:
T(a, b, c)=(a-b)+(c-a) x+(b+c) x^{2}
e verifique se T é um isomorfismo de \mathbb{R}^{3} em P_{2}(\mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear T\colon \mathbb{R}^{3}\to P_{2}(\mathbb{R}) por
T(a,b,c) = (a - b) + (c - a)\,x + (b + c)\,x^{2}.
O que precisamos é (1) encontrar o núcleo de T e (2) verificar se T é isomorfismo. Para isso usaremos a definição de núcleo e o Teorema do Núcleo e da Imagem (ou argumento de dimensões).

Passo 2

O núcleo de T é o conjunto de (a,b,c)\in\mathbb{R}^{3} tais que T(a,b,c) é o polinômio zero. Igualamos cada coeficiente a zero:
a - b = 0,
c - a = 0,
b + c = 0.

Passo 3

Da primeira equação segue b = a. Da segunda, c = a. Substituindo em b + c = 0 temos
a + a = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2a = 0 \quad\Longrightarrow\quad a = 0.
Logo b = 0 e c = 0.

Passo 4

Concluímos que a única solução é (a,b,c) = (0,0,0). Portanto
\ker(T) = \{(0,0,0)\}.

Passo 5

Para verificar se T é isomorfismo, note que \dim(\ker(T)) = 0 e \dim(\mathbb{R}^{3}) = 3. Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem,
\dim(\mathrm{Im}(T)) = 3 - 0 = 3.
Como \dim(P_{2}(\mathbb{R})) = 3, segue \mathrm{Im}(T)=P_{2}(\mathbb{R}), ou seja, T é bijetora e, portanto, um isomorfismo.

Resposta

\ker(T)=\{(0,0,0)\} e T é um isomorfismo de \mathbb{R}^{3} em P_{2}(\mathbb{R}).

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