(2,0) Dada T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, T(x, y, z)=(3 x+2 y-4 z, x-5 y+3 z), determine a sua matriz em relação às bases B=\{(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)\} e C=\{(1,3),(2,5)\}.
Passo 1
O enunciado dá T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} definida por
T(x,y,z) = (3x+2y-4z,\;x-5y+3z),
e pede a matriz de T relativa à base
B = \{(1,1,1),\,(1,1,0),\,(1,0,0)\}
do domínio e à base
C = \{(1,3),\,(2,5)\}
do contradomínio. Para isso, vamos (1) calcular T nos vetores de B e (2) escrever cada resultado em coordenadas da base C.
Passo 2
Calcular as imagens dos vetores de B:
Para v_{1}=(1,1,1),
Cada vetor (a,b)=T(v_{i})\) deve ser escrito como combinação \(\alpha(1,3)+\beta(2,5)\). Isso leva ao sistema
\[\begin{cases} \alpha + 2\beta = a,\\\\ 3\alpha +5\beta = b. \end{cases}
A matriz desse sistema é \begin{pmatrix}1&2\\\ 3&5\end{pmatrix}\] com determinante \(-1, cuja inversa é
\begin{pmatrix}-5 & 2\\\\ 3 & -1 \end{pmatrix}.
Logo
\alpha = -5a +2b, \quad \beta = 3a - b.
Aplicando a fórmula:
Para (a,b)=(1,-1) obtém-se \alpha=-7, \beta=4.
Para (a,b)=(5,-4) obtém-se \alpha=-33, \beta=19.
Para (a,b)=(3,1) obtém-se \alpha=-13, \beta=8.
Passo 4
A matriz de T em relação a B e C tem como colunas os pares (\alpha,\beta) obtidos. Portanto,