(2,0) Encontre a T.L. T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, tal que T(1,0,1)=(1,-1), T(0,1,1)=(2,3) e T(0,0,1)=(0,2) e determine o par ordenado ( x, y, z ) tal que T(x, y, z)=(1,-1).

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 que satisfaz
T(1,0,1)=(1,-1),\quad T(0,1,1)=(2,3),\quad T(0,0,1)=(0,2)
e depois quer achar todos os (x,y,z) tais que
T(x,y,z)=(1,-1).
Para isso vamos usar a representação matricial de T em relação à base canônica de \mathbb{R}^3.

Passo 2

Seja
A=\begin{pmatrix}\;a_1\;a_2\;a_3\end{pmatrix}
a matriz 2\times3 de T, onde a_1,a_2,a_3\in\mathbb{R}^2 são as colunas correspondentes a T(1,0,0),T(0,1,0),T(0,0,1).
Como T(0,0,1)=(0,2), temos
a_3=(0,2).
Em seguida,
T(1,0,1)=a_1+a_3=(1,-1)
implica
a_1=(1,-1)-a_3=(1,-1)-(0,2)=(1,-3).
Do mesmo modo,
T(0,1,1)=a_2+a_3=(2,3)
a_2=(2,3)-a_3=(2,3)-(0,2)=(2,1).

Passo 3

Agora sabemos todas as colunas de A, logo para (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 vale
T(x,y,z)=A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =x\,a_1+y\,a_2+z\,a_3.
Substituindo a_1,a_2,a_3 obtém-se
T(x,y,z)=\bigl(x+2y,\;-3x+y+2z\bigr).

Passo 4

Queremos achar (x,y,z) tais que
T(x,y,z)=(1,-1).
Isso gera o sistema linear
\begin{cases} x+2y=1,\\\\ -3x+y+2z=-1. \end{cases}

Passo 5

Resolvendo o sistema, escolha z como parâmetro t. Da primeira equação
x=1-2y.
Substituindo na segunda:
-3(1-2y)+y+2t=-1 \quad\Longrightarrow\quad -3+6y+y+2t=-1 \quad\Longrightarrow\quad 7y+2t=2 \quad\Longrightarrow\quad y=\frac{2-2t}{7}.
Logo
x=1-2\cdot\frac{2-2t}{7}=\frac{3+4t}{7}.
Portanto a solução geral é
(x,y,z)=\Bigl(\tfrac{3+4t}{7},\;\tfrac{2-2t}{7},\;t\Bigr),\quad t\in\mathbb{R}.

Resposta

A transformação linear é
T(x,y,z)=\bigl(x+2y,\;-3x+y+2z\bigr)
e a solução geral de T(x,y,z)=(1,-1) é
(x,y,z)=\Bigl(\tfrac{3+4t}{7},\;\tfrac{2-2t}{7},\;t\Bigr),\quad t\in\mathbb{R}.

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