Encontre o número b>1 de modo que os gráficos de f(x)=b^{x} e sua inversa f^{-1}(x)= \log _{b} x tenham exatamente um ponto de interseção. Qual é o ponto que é comum aos dois gráficos?

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=b^{x} e sua inversa f^{-1}(x)=\log_{b} x, com b>1, e pede duas coisas: encontrar o valor de b tal que os gráficos de f e f^{-1} tenham exatamente um ponto de interseção; e determinar qual é o ponto comum a esses dois gráficos.
Informações relevantes fornecidas: f(x)=b^{x}, f^{-1}(x)=\log_{b}x, e a condição b>1.
O que é pedido: o valor de b e as coordenadas do ponto de interseção único.

Passo 2

Observação importante (geometria das inversas): o gráfico de f^{-1} é a reflexão do gráfico de f em relação à reta y=x. Portanto, qualquer ponto que pertença simultaneamente ao gráfico de f e ao gráfico de f^{-1} tem de ser fixo pela reflexão, ou seja, deve estar sobre a reta y=x. Assim, todo ponto de interseção tem coordenadas da forma (x,x). Consequentemente, para achar interseções basta resolver a equação
b^{x}=x.
Explicando devagar: um ponto (x,y) está em ambos os gráficos se y=b^{x} e y=\log_{b}x. Pelo fato da reflexão, isso só pode ocorrer quando y=x, então substituímos y por x e chegamos à equação acima.

Passo 3

Definimos a função auxiliar
\varphi(x)=b^{x}-x.
As raízes de \varphi são exatamente as soluções de b^{x}=x. Vamos estudar quantas raízes \varphi pode ter, em função de b>1.
  1. Limites extremos: quando x\to -\infty temos b^{x}\to 0 e -x\to+\infty, logo \varphi(x)\to +\infty. Quando x\to +\infty temos b^{x}\to +\infty então \varphi(x)\to +\infty. Portanto \varphi tende a +\infty para ambas as extremidades.
  2. Derivadas: calculamos
\varphi'(x)=b^{x}\ln b - 1,
\varphi''(x)=b^{x}(\ln b)^{2}.
Como b>1 implica \ln b>0 e b^{x}>0 para todo x, temos \varphi''(x)>0 para todo x. Isso significa que \varphi é estritamente convexa (tem forma de “taça”). Uma função convexa que tende a +\infty nas duas extremidades pode ter 0, 1 ou 2 raízes; mais precisamente, ela terá:
  • nenhuma raiz se o valor mínimo for >0;
  • exatamente uma raiz se o valor mínimo for =0 (essa raiz é dupla, tangente ao eixo);
  • duas raízes se o valor mínimo for <0.
  1. Ponto crítico e valor mínimo: o ponto onde \varphi atinge o mínimo é solução de \varphi'(x)=0. Assim,
b^{x}\ln b = 1 \quad\Longrightarrow\quad b^{x}=\frac{1}{\ln b}.
Chamando esse ponto de x_{c}, obtemos
x_{c}=\log_{b}\!\left(\frac{1}{\ln b}\right)=\frac{\ln\!\bigl(\tfrac{1}{\ln b}\bigr)}{\ln b}.
O valor mínimo é
\varphi(x_{c})=b^{x_{c}}-x_{c}=\frac{1}{\ln b}-x_{c}.
Para que haja exatamente uma raiz (interseção única), precisamos que o mínimo seja zero:
\varphi(x_{c})=0.

Passo 4

Resolvendo simultaneamente as condições de raiz e de derivada nula (situação de tangência, raiz dupla): queremos x tal que
b^{x}=x
e
b^{x}\ln b = 1.
Substituímos b^{x} da primeira na segunda: como b^{x}=x, a segunda fica
x\ln b = 1.
Dessa igualdade isolamos \ln b:
\ln b = \frac{1}{x}.
Exponenciando,
b = e^{1/x}.
Voltemos à equação b^{x}=x e substituímos b=e^{1/x}:
\bigl(e^{1/x}\bigr)^{x} = e = x.
Portanto x=e. Substituindo x=e em \ln b = 1/x obtemos
\ln b = \frac{1}{e}\quad\Longrightarrow\quad b = e^{1/e}.
Concluímos que para b=e^{1/e} a função \varphi tem um mínimo igual a zero em x=e, isto é, existe uma única raiz (dupla) x=e. Para b<e^{1/e} o mínimo é positivo e não há raízes; para b>e^{1/e} o mínimo é negativo e há duas raízes. Assim o valor pedido é
b=e^{1/e}.

Passo 5

Encontramos também o ponto comum dos dois gráficos. Como a única solução da equação b^{x}=x para esse b é x=e, o ponto de interseção é (e,e). Verificação rápida: para b=e^{1/e}
f(e)=b^{e}=\bigl(e^{1/e}\bigr)^{e}=e,
e
f^{-1}(e)=\log_{b}e=\frac{\ln e}{\ln b}=\frac{1}{1/e}=e,
portanto ambos os gráficos passam por (e,e) e esse é o único ponto em comum.

Resposta

b=e^{1/e}
(e,e)

Exercícios relacionados