Encontre o número
de modo que os gráficos de
e sua inversa
tenham exatamente um ponto de interseção. Qual é o ponto que é comum aos dois gráficos?
Passo 1
O enunciado dá a função
e sua inversa
, com
, e pede duas coisas: encontrar o valor de
tal que os gráficos de
e
tenham exatamente um ponto de interseção; e determinar qual é o ponto comum a esses dois gráficos.
Informações relevantes fornecidas: ,
, e a condição
.
O que é pedido: o valor de e as coordenadas do ponto de interseção único.
Informações relevantes fornecidas:
O que é pedido: o valor de
Passo 2
Observação importante (geometria das inversas): o gráfico de
é a reflexão do gráfico de
em relação à reta
. Portanto, qualquer ponto que pertença simultaneamente ao gráfico de
e ao gráfico de
tem de ser fixo pela reflexão, ou seja, deve estar sobre a reta
. Assim, todo ponto de interseção tem coordenadas da forma
. Consequentemente, para achar interseções basta resolver a equação
Explicando devagar: um ponto
está em ambos os gráficos se
e
. Pelo fato da reflexão, isso só pode ocorrer quando
, então substituímos
por
e chegamos à equação acima.
Passo 3
Definimos a função auxiliar
As raízes de
são exatamente as soluções de
. Vamos estudar quantas raízes
pode ter, em função de
.
-
Limites extremos: quando
temos e , logo . Quando temos então . Portanto tende a para ambas as extremidades. -
Derivadas: calculamos
Como
implica
e
para todo
, temos
para todo
. Isso significa que
é estritamente convexa (tem forma de “taça”). Uma função convexa que tende a
nas duas extremidades pode ter 0, 1 ou 2 raízes; mais precisamente, ela terá:
- nenhuma raiz se o valor mínimo for
; - exatamente uma raiz se o valor mínimo for
(essa raiz é dupla, tangente ao eixo); - duas raízes se o valor mínimo for
.
- Ponto crítico e valor mínimo: o ponto onde
atinge o mínimo é solução de . Assim,
Chamando esse ponto de
, obtemos
O valor mínimo é
Para que haja exatamente uma raiz (interseção única), precisamos que o mínimo seja zero:
Passo 4
Resolvendo simultaneamente as condições de raiz e de derivada nula (situação de tangência, raiz dupla): queremos
tal que
e
Substituímos
da primeira na segunda: como
, a segunda fica
Dessa igualdade isolamos
:
Exponenciando,
Voltemos à equação
e substituímos
:
Portanto
. Substituindo
em
obtemos
Concluímos que para
a função
tem um mínimo igual a zero em
, isto é, existe uma única raiz (dupla)
. Para
o mínimo é positivo e não há raízes; para
o mínimo é negativo e há duas raízes. Assim o valor pedido é
Passo 5
Encontramos também o ponto comum dos dois gráficos. Como a única solução da equação
para esse
é
, o ponto de interseção é
. Verificação rápida: para
e
portanto ambos os gráficos passam por
e esse é o único ponto em comum.