Um vírus de computador se espalha segundo a função
em que
é o número de computadores infectados no instante
(em horas), contado a partir do momento em que a infecção foi detectada. A tabela a seguir fornece o número de computadores infectados em dois instantes diferentes.
Tempo (h)
Computadores
0
100
3
500
Com base nos dados da tabela,
(a) determine as constantes
e
;
(b) determine o número de computadores infectados para
.
| Tempo (h) | Computadores |
| 0 | 100 |
| 3 | 500 |
(a) determine as constantes
(b) determine o número de computadores infectados para
Passo 1
O enunciado dá a função
onde
é o número de computadores infectados no instante
(em horas). A tabela fornece dois pontos do processo:
O que se pede:
(a) determinar as constantes e
;
(b) determinar , o número de computadores infectados em
horas.
(a) determinar as constantes
(b) determinar
Todas as informações necessárias estão nos dois pares
e na expressão da função.
Passo 2
Vamos usar os dados dados substituindo os tempos na fórmula para obter duas equações para
e
.
Primeiro, substituindo
na expressão de
obtemos:
Pelo dado da tabela, isso deve ser igual a
. Portanto:
Passo 3
Resolvendo a equação de
para
:
A equação é
Multiplicando ambos os lados por
e dividindo por
obtemos
Calcule o quociente:
Logo
Interpretação rápida: com
conseguimos isolar
porque
. Boa!
Passo 4
Agora usamos o dado para
. Substituímos
e o valor de
na fórmula:
Pela tabela,
. Então:
Resolvendo essa equação passo a passo: multiplique ambos os lados pelo denominador e divida por
:
Calcule o quociente do lado direito:
Então
Subtraia 1 dos dois lados:
Divida ambos os lados por
:
Passo 5
Agora precisamos resolver
para
. Usamos propriedades de logaritmos e potências.
Uma forma direta é tomar o logaritmo na base
(porque a base da potência é
). Aplicando
aos dois lados:
Lembrando que
e
, temos
Portanto
Se você quiser um valor numérico, use mudança de base
. Calculando numericamente:
então
Arredondando para quatro casas decimais,
. Observação interpretativa: o sinal negativo em
faz com que
diminua com
, o que aumenta
em direção a
— faz sentido para uma propagação que cresce com o tempo.
Passo 6
Agora calculamos
. Use a expressão com os valores encontrados; é mais elegante usar a forma exata já obtida para
.
Temos de antes que
Logo
Substituindo
na função com
:
Calcule o produto
. Observe que
, então
Portanto o denominador fica
Logo
Simplificando:
, então
Verificação mental: em
havia 100, em
havia 500, em
faz sentido ter subido para 2.000 — progresso consistente com função que tende a
.
Passo 7
Resumo dos resultados obtidos de forma exata e numérica (útil na prova):
-
(exato). -
. -
.
Vai dar certo — concentre-se em montar as equações a partir dos pontos e em usar logaritmos para isolar
. Você já tem um padrão para problemas desse tipo: substituir, isolar, usar logs quando a incógnita está no expoente.
Resposta
(a)
(b)
(b)