Um vírus de computador se espalha segundo a função
c(t)=\frac{6.500}{1+a \cdot 2^{b t}},
em que c(t) é o número de computadores infectados no instante t (em horas), contado a partir do momento em que a infecção foi detectada. A tabela a seguir fornece o número de computadores infectados em dois instantes diferentes.
Tempo (h) Computadores
0 100
3 500
Com base nos dados da tabela,
(a) determine as constantes a e b;
(b) determine o número de computadores infectados para t=6 \mathrm{~h}.

Passo 1

O enunciado dá a função
c(t)=\frac{6.500}{1+a\cdot 2^{b t}},
onde c(t) é o número de computadores infectados no instante t (em horas). A tabela fornece dois pontos do processo:
t=0\longrightarrow c(0)=100,
t=3\longrightarrow c(3)=500.
O que se pede:
(a) determinar as constantes a e b;
(b) determinar c(6), o número de computadores infectados em t=6 horas.
Todas as informações necessárias estão nos dois pares (t,c(t)) e na expressão da função.

Passo 2

Vamos usar os dados dados substituindo os tempos na fórmula para obter duas equações para a e b.
Primeiro, substituindo t=0 na expressão de c(t) obtemos:
c(0)=\frac{6.500}{1+a\cdot 2^{b\cdot 0}}=\frac{6.500}{1+a\cdot 1}=\frac{6.500}{1+a}.
Pelo dado da tabela, isso deve ser igual a 100. Portanto:
100=\frac{6.500}{1+a}.

Passo 3

Resolvendo a equação de t=0 para a:
A equação é
100=\frac{6.500}{1+a}.
Multiplicando ambos os lados por 1+a e dividindo por 100 obtemos
1+a=\frac{6.500}{100}.
Calcule o quociente:
\frac{6.500}{100}=65.
Logo
1+a=65 \quad\Rightarrow\quad a=65-1=64.
Interpretação rápida: com t=0 conseguimos isolar a porque 2^{0}=1. Boa!

Passo 4

Agora usamos o dado para t=3. Substituímos t=3 e o valor de a na fórmula:
c(3)=\frac{6.500}{1+64\cdot 2^{3b}}.
Pela tabela, c(3)=500. Então:
500=\frac{6.500}{1+64\cdot 2^{3b}}.
Resolvendo essa equação passo a passo: multiplique ambos os lados pelo denominador e divida por 500:
1+64\cdot 2^{3b}=\frac{6.500}{500}.
Calcule o quociente do lado direito:
\frac{6.500}{500}=13.
Então
1+64\cdot 2^{3b}=13.
Subtraia 1 dos dois lados:
64\cdot 2^{3b}=12.
Divida ambos os lados por 64:
2^{3b}=\frac{12}{64}=\frac{3}{16}.

Passo 5

Agora precisamos resolver 2^{3b}=\dfrac{3}{16} para b. Usamos propriedades de logaritmos e potências.
Uma forma direta é tomar o logaritmo na base 2 (porque a base da potência é 2). Aplicando \log_2 aos dois lados:
3b=\log_2\!\left(\frac{3}{16}\right).
Lembrando que \log_2\!\left(\dfrac{3}{16}\right)=\log_2(3)-\log_2(16) e \log_2(16)=4, temos
3b=\log_2(3)-4.
Portanto
b=\frac{\log_2(3)-4}{3}=\frac{1}{3}\log_2\!\left(\frac{3}{16}\right).
Se você quiser um valor numérico, use mudança de base \log_2(x)=\dfrac{\ln x}{\ln 2}. Calculando numericamente:
\log_2(3)\approx 1,5849625,
então
b\approx\frac{1,5849625-4}{3}=\frac{-2,4150375}{3}\approx -0,8050125.
Arredondando para quatro casas decimais, b\approx -0,8050. Observação interpretativa: o sinal negativo em b faz com que 2^{b t} diminua com t, o que aumenta c(t) em direção a 6.500 — faz sentido para uma propagação que cresce com o tempo.

Passo 6

Agora calculamos c(6). Use a expressão com os valores encontrados; é mais elegante usar a forma exata já obtida para 2^{3b}.
Temos de antes que
2^{3b}=\frac{3}{16}.
Logo
2^{6b}=(2^{3b})^{2}=\left(\frac{3}{16}\right)^{2}=\frac{9}{256}.
Substituindo t=6 na função com a=64:
c(6)=\frac{6.500}{1+64\cdot 2^{6b}}=\frac{6.500}{1+64\cdot \frac{9}{256}}.
Calcule o produto 64\cdot \dfrac{9}{256}. Observe que 64/256=\dfrac{1}{4}, então
64\cdot \frac{9}{256}=\frac{1}{4}\cdot 9=\frac{9}{4}=2,25.
Portanto o denominador fica
1+\frac{9}{4}=\frac{13}{4}.
Logo
c(6)=\frac{6.500}{13/4}=6.500\cdot\frac{4}{13}.
Simplificando: 6.500/13=500, então
c(6)=500\cdot 4=2.000.
Verificação mental: em t=0 havia 100, em t=3 havia 500, em t=6 faz sentido ter subido para 2.000 — progresso consistente com função que tende a 6.500.

Passo 7

Resumo dos resultados obtidos de forma exata e numérica (útil na prova):
  • a=64 (exato).
  • b=\dfrac{1}{3}\log_2\!\left(\dfrac{3}{16}\right)\approx -0,8050.
  • c(6)=2.000.
Vai dar certo — concentre-se em montar as equações a partir dos pontos e em usar logaritmos para isolar b. Você já tem um padrão para problemas desse tipo: substituir, isolar, usar logs quando a incógnita está no expoente.

Resposta

(a) a=64,\; b=\dfrac{1}{3}\log_2\!\left(\dfrac{3}{16}\right)\approx -0,8050
(b) c(6)=2000

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