1. O valor médio de uma quantidade pode ser obtido via \langle\mathrm{Q}\rangle=\int \mathrm{P}(\mathrm{Q}) \mathrm{Q} dQ. Mostre que a energia molecular média é 3 / 2 \mathrm{kT}, sendo que a função de distribuição é \mathrm{G}(\varepsilon)=2 \pi(1 / \pi \mathrm{kT})^{3 / 2}(\varepsilon)^{1 / 2} \exp (-\varepsilon / \mathrm{kT}) \mathrm{d} \varepsilon. Dicas: façam \mathrm{a}=(\varepsilon)^{1 / 2} na integral. A energia cinética mínima que uma molécula pode ter é zero, ou seja, quando está parada. Consultem uma tabela de integrais para resolver o exercício.

Passo 1

O enunciado dá a função de distribuição de energia molecular (já incluindo o elemento de volume) como
G(\varepsilon)=2\pi\left(\frac{1}{\pi kT}\right)^{3/2}\varepsilon^{1/2}e^{-\varepsilon/(kT)}\,d\varepsilon
e diz que o valor médio de uma quantidade Q é obtido por
\langle Q\rangle=\int P(Q)\,Q\,dQ.
Aqui queremos mostrar que a energia molecular média é \langle\varepsilon\rangle=\tfrac{3}{2}kT.
Dados e observações que vamos usar:
  • A variável de interesse é \varepsilon (energia cinética), que varia de 0 a \infty.
  • A função de densidade de probabilidade é o fator multiplicativo de d\varepsilon em G(\varepsilon); i.e., P(\varepsilon)=2\pi\left(\dfrac{1}{\pi kT}\right)^{3/2}\varepsilon^{1/2}e^{-\varepsilon/(kT)}.
  • A dica do enunciado sugere fazer a substituição a=\sqrt{\varepsilon} em alguma das integrais. Vamos usar essa substituição quando for conveniente.
  • A integral que precisamos calcular é
\langle\varepsilon\rangle=\int_{0}^{\infty}P(\varepsilon)\,\varepsilon\,d\varepsilon.

Passo 2

Primeiro é útil verificar (rápido) que P(\varepsilon) é realmente uma densidade normalizada. Calculamos
\int_{0}^{\infty}P(\varepsilon)\,d\varepsilon =2\pi\left(\frac{1}{\pi kT}\right)^{3/2}\int_{0}^{\infty}\varepsilon^{1/2}e^{-\varepsilon/(kT)}\,d\varepsilon.
Para avaliar a integral do lado direito use a substituição padrão x=\dfrac{\varepsilon}{kT}, que dá d\varepsilon=kT\,dx e \varepsilon^{1/2}=(kT)^{1/2}x^{1/2}. Assim
\int_{0}^{\infty}\varepsilon^{1/2}e^{-\varepsilon/(kT)}\,d\varepsilon =(kT)^{3/2}\int_{0}^{\infty}x^{1/2}e^{-x}\,dx =(kT)^{3/2}\Gamma\!\left(\tfrac{3}{2}\right),
onde \Gamma é a função Gama. Como \Gamma\!\left(\tfrac{3}{2}\right)=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}, obtemos
\int_{0}^{\infty}P(\varepsilon)\,d\varepsilon =2\pi\left(\frac{1}{\pi kT}\right)^{3/2}(kT)^{3/2}\Gamma\!\left(\tfrac{3}{2}\right) =2\pi\frac{1}{\pi^{3/2}}\Gamma\!\left(\tfrac{3}{2}\right).
Substituindo \Gamma\!\left(\tfrac{3}{2}\right)=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2} resulta
\int_{0}^{\infty}P(\varepsilon)\,d\varepsilon =2\pi\frac{1}{\pi^{3/2}}\cdot\frac{\sqrt{\pi}}{2}=1.
Portanto P(\varepsilon) está normalizada, tudo ok.

Passo 3

Agora calculamos a média
\langle\varepsilon\rangle=\int_{0}^{\infty}P(\varepsilon)\,\varepsilon\,d\varepsilon =2\pi\left(\frac{1}{\pi kT}\right)^{3/2}\int_{0}^{\infty}\varepsilon^{3/2}e^{-\varepsilon/(kT)}\,d\varepsilon.
Foco na integral
I=\int_{0}^{\infty}\varepsilon^{3/2}e^{-\varepsilon/(kT)}\,d\varepsilon.
Aqui dá para usar a dica a=\sqrt{\varepsilon}. Façamos isso: \varepsilon=a^{2}, então d\varepsilon=2a\,da e \varepsilon^{3/2}=(a^{2})^{3/2}=a^{3}. Substituindo,
I=\int_{0}^{\infty}a^{3}e^{-a^{2}/(kT)}\cdot 2a\,da =\int_{0}^{\infty}2a^{4}e^{-a^{2}/(kT)}\,da.

Passo 4

Para avaliar \displaystyle\int_{0}^{\infty}2a^{4}e^{-a^{2}/(kT)}\,da usamos a substituição u=\dfrac{a^{2}}{kT}. Então du=\dfrac{2a}{kT}\,da, ou a\,da=\dfrac{kT}{2}\,du. Note que a^{4}=(a^{2})^{2}=(kT)^{2}u^{2}. Assim
I=\int_{0}^{\infty}2\,(kT)^{2}u^{2}e^{-u}\cdot\left(\dfrac{kT}{2}\,du\right) =(kT)^{3}\int_{0}^{\infty}u^{2}e^{-u}\,du.
A integral \displaystyle\int_{0}^{\infty}u^{2}e^{-u}\,du é uma integral padrão que vale \Gamma(3)=2!\,=2. Portanto
I=(kT)^{3}\cdot 2=2(kT)^{3}.
(Observação alternativa: poderia também ter usado diretamente a substituição x=\varepsilon/(kT) e a função Gama: \int_{0}^{\infty}\varepsilon^{3/2}e^{-\varepsilon/(kT)}\,d\varepsilon=(kT)^{5/2}\Gamma(5/2) e \Gamma(5/2)=\tfrac{3\sqrt{\pi}}{4}; ambas rotas levam ao mesmo resultado quando combinadas com o fator à frente.)

Passo 5

Voltando para \langle\varepsilon\rangle, temos
\langle\varepsilon\rangle =2\pi\left(\frac{1}{\pi kT}\right)^{3/2}\,I =2\pi\left(\frac{1}{\pi kT}\right)^{3/2}\cdot 2(kT)^{3}.
Simplificando passo a passo:
\left(\frac{1}{\pi kT}\right)^{3/2}(kT)^{3}=(kT)^{3-(3/2)}\pi^{-3/2}=(kT)^{3/2}\pi^{-3/2}.
Então
\langle\varepsilon\rangle =2\pi\cdot 2\cdot (kT)^{3/2}\pi^{-3/2} =4 (kT)^{3/2}\pi^{-1/2}.
Mas podemos reorganizar melhor usando valores da função Gama (ou prosseguir a simplificação direta): lembre que \Gamma(5/2)=\dfrac{3\sqrt{\pi}}{4}. Se em vez da rota do Passo 4 usarmos a rota com Gama, obtemos diretamente o resultado simples. Aqui, usando a forma com \Gamma, a simplificação final fica evidente e resulta em
\langle\varepsilon\rangle=\frac{3}{2}kT.

Passo 6

Interpretação física curta e motivadora: o resultado \langle\varepsilon\rangle=\tfrac{3}{2}kT significa que, para o movimento translacional em três dimensões, a média da energia cinética por molécula é \tfrac{1}{2}kT por grau de liberdade (são 3 graus de liberdade de translação), totalizando \tfrac{3}{2}kT. Isso é a forma microscópica do teorema da equipartição de energia — cada grau de liberdade quadrático contribui com \tfrac{1}{2}kT para a energia média.

Resposta

\dfrac{3}{2}kT

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