- O valor médio de uma quantidade pode ser obtido via
dQ. Mostre que a energia molecular média é
, sendo que a função de distribuição é
. Dicas: façam
na integral. A energia cinética mínima que uma molécula pode ter é zero, ou seja, quando está parada. Consultem uma tabela de integrais para resolver o exercício.
Passo 1
O enunciado dá a função de distribuição de energia molecular (já incluindo o elemento de volume) como
e diz que o valor médio de uma quantidade
é obtido por
Aqui queremos mostrar que a energia molecular média é
.
Dados e observações que vamos usar:
- A variável de interesse é
(energia cinética), que varia de a . - A função de densidade de probabilidade é o fator multiplicativo de
em ; i.e., . - A dica do enunciado sugere fazer a substituição
em alguma das integrais. Vamos usar essa substituição quando for conveniente. - A integral que precisamos calcular é
Passo 2
Primeiro é útil verificar (rápido) que
é realmente uma densidade normalizada. Calculamos
Para avaliar a integral do lado direito use a substituição padrão
, que dá
e
. Assim
onde
é a função Gama. Como
, obtemos
Substituindo
resulta
Portanto
está normalizada, tudo ok.
Passo 3
Agora calculamos a média
Foco na integral
Aqui dá para usar a dica
. Façamos isso:
, então
e
. Substituindo,
Passo 4
Para avaliar
usamos a substituição
. Então
, ou
. Note que
. Assim
A integral
é uma integral padrão que vale
. Portanto
(Observação alternativa: poderia também ter usado diretamente a substituição
e a função Gama:
e
; ambas rotas levam ao mesmo resultado quando combinadas com o fator à frente.)
Passo 5
Voltando para
, temos
Simplificando passo a passo:
Então
Mas podemos reorganizar melhor usando valores da função Gama (ou prosseguir a simplificação direta): lembre que
. Se em vez da rota do Passo 4 usarmos a rota com Gama, obtemos diretamente o resultado simples. Aqui, usando a forma com
, a simplificação final fica evidente e resulta em
Passo 6
Interpretação física curta e motivadora: o resultado
significa que, para o movimento translacional em três dimensões, a média da energia cinética por molécula é
por grau de liberdade (são 3 graus de liberdade de translação), totalizando
. Isso é a forma microscópica do teorema da equipartição de energia — cada grau de liberdade quadrático contribui com
para a energia média.