Se uma onda eletromagnética se propaga na direção do eixo x no interior de uma cavidade de corpo negro de paredes metálicas. Mostre que o módulo do campo elétrico na parede paralela ao plano yz deve ser nulo. Use o fato de que o campo elétrico no interior de um condutor deve ser nulo e que campos elétricos gerados por cargas elétricas são conservativos, ou seja, oint E cdot d l=0. Essa é a condição de contorno que usamos para encontrar o número de modos no interior de uma cavidade metálica.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma onda eletromagnética que está se propagando na direção do eixo $ x $ dentro de uma cavidade com paredes metálicas (um corpo negro). O objetivo é mostrar que o módulo do campo elétrico nas paredes paralelas ao plano $ yz $ é igual a zero. Para resolver isso, vamos precisar entender dois conceitos principais:
  1. Campo elétrico dentro de um condutor: Em estado estacionário, o campo elétrico dentro de um condutor é nulo.
  2. Campos elétricos conservativos: Campos elétricos gerados por cargas estão relacionados a trajetórias fechadas onde a integral de linha do campo elétrico é zero, ou seja, $ \oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = 0 $.
Esses conceitos vão nos ajudar a aplicar as condições de contorno necessárias para determinar o comportamento das ondas eletromagnéticas na cavidade metálica.

Passo 2

Vamos considerar a cavidade metálica com paredes paralelas ao plano $ yz $. Como a onda eletromagnética está se propagando ao longo do eixo $ x $, podemos focar na parede perpendicular a esse eixo, ou seja, nas paredes que são paralelas ao plano $ yz $.
De acordo com o primeiro conceito, dentro de um condutor em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico é zero. Isso significa que nas paredes metálicas, o campo elétrico tangencial deve ser nulo para impedir a existência de campo elétrico dentro do condutor.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o segundo conceito sobre campos elétricos conservativos. A integral de linha do campo elétrico ao longo de um caminho fechado dentro do condutor deve ser zero:
oint E cdot dl = 0
Como estamos considerando uma onda eletromagnética se propagando, podemos imaginar um caminho fechado que segue ao longo de uma linha na parede metálica paralela ao plano $ yz $.

Passo 4

Considerando que o campo elétrico é tangencial à superfície da parede metálica, para que a integral de linha seja zero, o campo elétrico ao longo desse caminho também deve ser zero. Isso porque, se houver um campo elétrico diferente de zero, a integral ao longo de um caminho fechado não seria zero, violando a condição de conservatividade.
Portanto, para satisfazer $ \oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = 0 $, o campo elétrico tangencial na parede deve ser nulo.

Passo 5

Assim, concluímos que o módulo do campo elétrico nas paredes paralelas ao plano $ yz $ é igual a zero. Isso significa que nessas paredes, não há componente do campo elétrico, garantindo que o campo elétrico dentro do condutor (a cavidade metálica) seja nulo, conforme o que a física dos condutores nos diz.

Resposta

O módulo do campo elétrico nas paredes paralelas ao plano $ yz $ é igual a zero.

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