Encontre o número b tal que a reta y=b divida a região delimitada pelas curvas y=x^2 e y=4 em duas regiões de áreas iguais.
Questão 7. Encontre os valores de c tais que a área da região limitada pelas parábolas y=x^2-c^2 e y=c^2-x^2 seja 576.

Passo 1

Podemos dividir o exercício em duas partes: primeiro, encontrar b de modo que a reta y=b divida ao meio a região entre y=x^2 e y=4, e segundo, determinar c para que a área da região entre as parábolas y=x^2-c^2 e y=c^2-x^2 seja 576. O conteúdo envolvido é cálculo de área por integrais definidas.

Passo 2

Calculamos a área total da região entre y=x^2 e y=4 como
Atotal = integral-2^2 (4 - x^2),dx = 2integral0^2 (4 - x^2),dx = 2l[4x - tfracx^33r]0^2 = tfrac323
Logo, metade dessa área é tfrac163.

Passo 3

Para encontrar b tal que a área abaixo de y=b e acima de y=x^2 seja tfrac163, note que as interseções ocorrem em x=pmraizb. Assim,
A(b) = integral-raizb^raizb (b - x^2),dx = 2integral0^raizb (b - x^2),dx = 43,b^3/2
Igualando à metade da área:
43,b^3/2 = 163 Longrightarrow b^3/2 = 4 Longrightarrow b = 4^2/3 = 2cdot 2^1/3

Passo 4

Na segunda parte, a região entre
;y1 = x^2 - c^2; e ;y2 = c^2 - x^2; tem interseções em x=pm c. A área é
A(c) = integral-c^c l[(c^2 - x^2) - (x^2 - c^2)r],dx = integral-c^c (2c^2 - 2x^2),dx = 83,c^3

Passo 5

Impondo A(c)=576:
83,c^3 = 576 Longrightarrow c^3 = 216 Longrightarrow c = 6

Resposta

b = 2cdot 2^1/3
c = 6

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