Use coordenadas polares para calcular:
integral duplaR raiz9-x^2-y^2 d A, onde R é a região do primeiro quadrante contida no círculo x^2+y^2=9.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral duplaRraiz9-x^2-y^2,dA
onde R é a parte do primeiro quadrante do disco de raio 3, ou seja
R=(x,y)mid x^2+y^2<=9,;x>=0,;y>=0
O conteúdo aqui é integral dupla em coordenadas polares, e vamos usar a mudança
x=rcostheta, y=rsintheta, dA=r,dr,dtheta

Passo 2

Em coordenadas polares a região R fica
0<= r<=3, 0<=theta<=pi2,
e a integral se escreve
integral duplaRraiz9-x^2-y^2,dA =integraltheta=0^pi2!!integralr=0^3raiz9-r^2;r,dr,dtheta

Passo 3

Para calcular
integral0^3raiz9-r^2;r,dr
fazemos a substituição u=9-r^2, logo du=-2r,dr e r,dr=-tfrac12du. Quando r=0 vem u=9 e quando r=3 vem u=0. Assim
integral0^3raiz9-r^2;r,dr =-tfrac12integral9^0u^1/2,du =tfrac12integral0^9u^1/2,du =tfrac12cdottfrac23u^3/2|0^9 =tfrac13,(9)^3/2 =9

Passo 4

Substituindo o resultado no integral em theta, temos
integral duplaRraiz9-x^2-y^2,dA =integral0^pi29,dtheta =9cdotpi2 =9pi2

Resposta

9pi2

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