Encontre o número de zeros de z^4-2 z-2 no anel 1 / 2<|z|<3 / 2.
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4 .
Dica: Considere separadamente os discos |z|<3 / 2 e |z| <= 1 / 2 e aplique o Teorema de Rouché.

Passo 1

O exercício pede para encontrar quantos zeros a função f(z)=z^4-2z-2 tem no anel tfrac12<|z|. Vamos usar o Teorema de Rouché nessas duas circunferências e depois subtrair as quantidades obtidas.

Passo 2

Contagem em |z|: sobre |z|=tfrac32 temos
|z^4|=l(tfrac32r)^4=tfrac8116=5,0625
e
|-2z-2|<=2,|z|+2=3+2=5
Como |z^4|>|-2z-2| nessa curva, por Rouché f(z) e z^4 têm o mesmo número de zeros dentro de |z|. Como z^4 tem 4 zeros (em zero, com multiplicidade 4), segue que f tem 4 zeros em |z|.

Passo 3

Contagem em |z|<=tfrac12: sobre |z|=tfrac12 temos
|z^4|=l(tfrac12r)^4=tfrac116=0,0625
e
|-2z-2|>=2-2,|z|=2-1=1
Logo |-2z-2|>|z^4| nessa curva, então por Rouché f(z) e -2z-2 têm o mesmo número de zeros em |z|. A equação -2z-2=0 tem zero dentro de |z| (a raiz é z=-1). Assim, f não tem zeros em |z|.

Passo 4

O número de zeros de f no anel tfrac12<|z| é a diferença entre os zeros em |z| e em |z|, ou seja, 4-0=4.

Resposta

4

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