Determine as derivadas direcionais das funções
abaixo, na direção do vetor
dado. Usando a definição por meio de limites.
Passo 1
O problema pede para calcular a derivada direcional de
na direção do vetor
. O conteúdo é derivada direcional via definição por limite e vamos usar a fórmula
.
Passo 2
Em um ponto genérico
, a definição de derivada direcional em direção a
é:
Passo 3
Substituindo
,
e
, obtemos:
$$f\bigl(x+h\cos\tfrac{\pi}{4},;y+h\cos\tfrac{\pi}{6},;z+h\cos\tfrac{\pi}{3}\bigr)
=3\bigl(x+h\cos\tfrac{\pi}{4}\bigr)2-5\bigl(y+h\cos\tfrac{\pi}{6}\bigr)2+3\bigl(z+h\cos\tfrac{\pi}{3}\bigr)^3.$$
Passo 4
Expandindo e subtraindo
, agrupamos termos em potências de
:
$$f(P+hU)-f§=h\bigl[6x\cos\tfrac{\pi}{4}-10y\cos\tfrac{\pi}{6}+9z2\cos\tfrac{\pi}{3}\bigr]+O(h2).
$$
Passo 5
Dividindo por
e fazendo
, os termos
somem, ficando:
$$D_Uf(x,y,z)=6x\cos\tfrac{\pi}{4}-10y\cos\tfrac{\pi}{6}+9z^2\cos\tfrac{\pi}{3}.
$$
Passo 6
Finalmente, usando
,
e
, temos:
$$D_Uf(x,y,z)=6x\frac{\sqrt2}{2}-10y\frac{\sqrt3}{2}+9z2\frac12=3\sqrt2,x-5\sqrt3,y+\frac{9}{2}z2.
$$
Resposta
D_Uf(x,y,z)=3\sqrt2,x-5\sqrt3,y+\tfrac{9}{2}z^2