Determine as derivadas direcionais das funções f(x) abaixo, na direção do vetor U dado. Usando a definição por meio de limites.
f(x, y, z)=3 x^2-5 y^2+3 z^3 ; U=cos pi4 i+cos pi6 j+cos pi3

Passo 1

O problema pede para calcular a derivada direcional de f(x,y,z)=3x^2-5y^2+3z^3 na direção do vetor U=(costfracpi4,,costfracpi6,,costfracpi3). O conteúdo é derivada direcional via definição por limite e vamos usar a fórmula DUf(P)=limhto0f(P+hU)-f(P)h.

Passo 2

Em um ponto genérico P=(x,y,z), a definição de derivada direcional em direção a U=(Ux,Uy,Uz) é:
DUf(P)=limhto0fl(x+hUx,;y+hUy,;z+hUzr)-f(x,y,z)h

Passo 3

Substituindo Ux=costfracpi4, Uy=costfracpi6 e Uz=costfracpi3, obtemos:
$$f\bigl(x+h\cos\tfrac{\pi}{4},;y+h\cos\tfrac{\pi}{6},;z+h\cos\tfrac{\pi}{3}\bigr)
=3\bigl(x+h\cos\tfrac{\pi}{4}\bigr)2-5\bigl(y+h\cos\tfrac{\pi}{6}\bigr)2+3\bigl(z+h\cos\tfrac{\pi}{3}\bigr)^3.$$

Passo 4

Expandindo e subtraindo f(x,y,z), agrupamos termos em potências de h:
$$f(P+hU)-f§=h\bigl[6x\cos\tfrac{\pi}{4}-10y\cos\tfrac{\pi}{6}+9z2\cos\tfrac{\pi}{3}\bigr]+O(h2).
$$

Passo 5

Dividindo por h e fazendo hto0, os termos O(h^2) somem, ficando:
$$D_Uf(x,y,z)=6x\cos\tfrac{\pi}{4}-10y\cos\tfrac{\pi}{6}+9z^2\cos\tfrac{\pi}{3}.
$$

Passo 6

Finalmente, usando costfracpi4=tfracraiz22, costfracpi6=tfracraiz32 e costfracpi3=tfrac12, temos:
$$D_Uf(x,y,z)=6x\frac{\sqrt2}{2}-10y\frac{\sqrt3}{2}+9z2\frac12=3\sqrt2,x-5\sqrt3,y+\frac{9}{2}z2.
$$

Resposta

D_Uf(x,y,z)=3\sqrt2,x-5\sqrt3,y+\tfrac{9}{2}z^2

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