Use as propriedades dos conjugados e módulos estabelecidas na Seção 6 para mostrar que
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente usar as propriedades dos conjugados e módulos para mostrar que:
Aqui, estamos lidando com números complexos, e para isso, vamos precisar entender o que é o conjugado de um número complexo e como ele funciona nas operações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o conjugado de um número complexo. Se tivermos um número complexo $ z = a + bi $, onde $ a $ e $ b $ são números reais, o conjugado de $ z $, denotado por $ \overline{z} $, é:
Basicamente, mudamos o sinal da parte imaginária.
Passo 3
Agora, vamos analisar o que significa $ \overline{\overline{z}} $. Aplicando a definição do conjugado duas vezes, temos:
Portanto, o conjugado do conjugado de $ z $ volta ao $ z $ original.
Passo 4
Vamos aplicar isso na expressão que a gente quer mostrar. Primeiro, considere $ \overline{z} + 3i $:
Agora, vamos tirar o conjugado dessa soma:
Passo 5
Vamos reescrever $ a + bi $ como $ z $:
Substituindo de volta na expressão que obtivemos:
Resposta
Assim, mostramos que: