Questão 2. Calcule a integral tripla.
integral triplaE d V, onde E é a região limitada pelas superfícies z=x^2+y^2 e z=27-2 x^2-2 y^2. Resp: 243 pi2

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral tripla integral triplaE dV, onde a região E é delimitada pelas superfícies z = x^2 + y^2 e z = 27 - 2x^2 - 2y^2. Vamos usar cálculo integral, especificamente integrais triplas, e para facilitar, vamos mudar para coordenadas cilíndricas, que são ótimas para simetria circular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as superfícies que delimitam a região E. A superfície z = x^2 + y^2 é um paraboloide que abre para cima, enquanto z = 27 - 2x^2 - 2y^2 é outro paraboloide que abre para baixo. A região E é o espaço entre essas duas superfícies.

Passo 3

Para encontrar o limite da região E, igualamos as duas equações das superfícies:
x^2 + y^2 = 27 - 2x^2 - 2y^2
Simplificando:
3x^2 + 3y^2 = 27 x^2 + y^2 = 9
Isso nos mostra que a projeção de E no plano xy é um círculo de raio 3.

Passo 4

Vamos converter para coordenadas cilíndricas, onde x = rcostheta, y = rsintheta, e z = z. Nessa coordenada, x^2 + y^2 = r^2. O volume diferencial em coordenadas cilíndricas é dV = r,dz,dr,dtheta.

Passo 5

Determinar os limites de integração:
  • r varia de 0 a 3 (raio do círculo).
  • theta varia de 0 a 2pi (ângulo completo).
  • Para cada r, z varia de z = r^2 (paraboloide inferior) a z = 27 - 2r^2 (paraboloide superior).

Passo 6

Escrever a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
integral triplaE dV = integral0^2pi integral0^3 integralr^2^27 - 2r^2 r,dz,dr,dtheta

Passo 7

Integrar em relação a z primeiro:
integralr^2^27 - 2r^2 dz = (27 - 2r^2) - r^2 = 27 - 3r^2

Passo 8

Substituir o resultado da integração de z na integral dupla:
integral0^2pi integral0^3 (27 - 3r^2) cdot r,dr,dtheta
Simplificando:
integral0^2pi integral0^3 (27r - 3r^3),dr,dtheta

Passo 9

Integrar em relação a r:
integral0^3 (27r - 3r^3),dr = [272r^2 - 34r^4]0^3 = (272 cdot 9 - 34 cdot 81) = (2432 - 2434) = 2434

Passo 10

Agora, integrar em relação a theta:
integral0^2pi 2434,dtheta = 2434 cdot 2pi = 243pi2

Resposta

O valor da integral tripla é 243 pi2.

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