Questão 2. Calcule a integral tripla.
, onde
é a região limitada pelas superfícies
e
. Resp:
Passo 1
Então, a gente tem que calcular a integral tripla
, onde a região
é delimitada pelas superfícies
e
. Vamos usar cálculo integral, especificamente integrais triplas, e para facilitar, vamos mudar para coordenadas cilíndricas, que são ótimas para simetria circular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as superfícies que delimitam a região
. A superfície
é um paraboloide que abre para cima, enquanto
é outro paraboloide que abre para baixo. A região
é o espaço entre essas duas superfícies.
Passo 3
Para encontrar o limite da região
, igualamos as duas equações das superfícies:
Simplificando:
Isso nos mostra que a projeção de
no plano
é um círculo de raio 3.
Passo 4
Vamos converter para coordenadas cilíndricas, onde
,
, e
. Nessa coordenada,
. O volume diferencial em coordenadas cilíndricas é
.
Passo 5
Determinar os limites de integração:
-
varia de 0 a 3 (raio do círculo). -
varia de 0 a (ângulo completo). - Para cada
, varia de (paraboloide inferior) a (paraboloide superior).
Passo 6
Escrever a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
Passo 7
Integrar em relação a
primeiro:
Passo 8
Substituir o resultado da integração de
na integral dupla:
Simplificando:
Passo 9
Integrar em relação a
:
Passo 10
Agora, integrar em relação a
:
Resposta
O valor da integral tripla é
.