Encontre os números a, b e c tais que
\vec{t}=a \vec{u}+b \vec{v}+c \vec{w},
onde \vec{t}=(5,7,-2), \vec{u}=(1,-1,2), \vec{v}=(3,0,-1) e \vec{w}=(2,1,0).

Passo 1

O enunciado pede para escrever \vec{t}=(5,7,-2) como combinação linear das bases \vec{u}=(1,-1,2), \vec{v}=(3,0,-1) e \vec{w}=(2,1,0). Para isso, vamos achar escalares a, b e c tais que
\vec{t}=a\,\vec{u}+b\,\vec{v}+c\,\vec{w}.
O método será igualar coordenada a coordenada, gerando um sistema de três equações em a,b,c.

Passo 2

Igualando as componentes de \vec{t} a a\vec{u}+b\vec{v}+c\vec{w}, obtemos o sistema
\begin{cases} a + 3b + 2c = 5,\\\\ -\,a + c = 7,\\\\ 2a - b = -2. \end{cases}

Passo 3

Da segunda equação isolamos
c = 7 + a,
e da terceira isolamos
b = 2a + 2.
Substituindo essas expressões na primeira equação, vem
a + 3(2a+2) + 2(a+7) = 5 \Longrightarrow 9a + 20 = 5 \Longrightarrow 9a = -15 \Longrightarrow a = -\frac{5}{3}.

Passo 4

Com a=-\frac{5}{3}, calculamos
b = 2a + 2 = 2\bigl(-\tfrac{5}{3}\bigr)+2 = -\frac{4}{3}, \quad c = a + 7 = -\frac{5}{3} + \frac{21}{3} = \frac{16}{3}.

Resposta

a = -\tfrac{5}{3},\quad b = -\tfrac{4}{3},\quad c = \tfrac{16}{3}.

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