1. Obtenha os pontos da interseção dos planos \pi_{1}: x-y=3 e \pi_{2}: y+z=4 que distam \sqrt{3 / 2} da reta s: x=z, y=1.

Passo 1

O enunciado pede os pontos da interseção das retas formadas pelos planos \pi_{1}:x - y = 3 e \pi_{2}:y + z = 4 que estão a uma distância \sqrt{3/2} da reta s: x = z,\;y = 1.
O conteúdo principal é:
  1. Encontrar a reta \ell = \pi_{1}\cap\pi_{2} em forma paramétrica.
  2. Usar a fórmula da distância de um ponto a uma reta em \mathbb{R}^3.

Passo 2

Vamos achar a reta \ell\). Resolvendo \[\begin{cases} x - y = 3,\\\ y + z = 4, \end{cases}
fazemos y = t\]. Então \[x = 3 + t,\quad z = 4 - t.\] Logo a reta \(\ell é
P(t) = (x,y,z) = (3 + t,\;t,\;4 - t),\quad t\in\mathbb{R}.

Passo 3

Para a reta s escolhemos ponto P_0=(0,1,0) e vetor diretor u=(1,0,1).
A distância de P(t) a s é
D(t) = \frac{\big\|\,(P(t)-P_0)\times u\,\big\|}{\|u\|} = \frac{\sqrt{6t^2 -8t +3}}{\sqrt{2}}.
Aqui usamos que \|u\|=\sqrt{1^2+0^2+1^2}=\sqrt{2} e que \|(P(t)-P_0)\times u\|^2=6t^2-8t+3 (cálculo de produto vetorial e norma).

Passo 4

Impondo D(t)=\sqrt{\tfrac{3}{2}}, obtemos
\frac{\sqrt{6t^2-8t+3}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}} \quad\Longrightarrow\quad 6t^2 -8t +3 = 3 \quad\Longrightarrow\quad 6t^2 -8t = 0 \quad\Longrightarrow\quad t\,(3t-4)=0.
As soluções são t=0 e t=\tfrac{4}{3}.

Passo 5

Substituindo em P(t):
  • Para t=0:
P(0) = (3,0,4).
  • Para t=\tfrac{4}{3}:
P\!\Bigl(\tfrac{4}{3}\Bigr) = \Bigl(3+\tfrac{4}{3},\;\tfrac{4}{3},\;4-\tfrac{4}{3}\Bigr) = \Bigl(\tfrac{13}{3},\;\tfrac{4}{3},\;\tfrac{8}{3}\Bigr).

Resposta

Os pontos procurados são
(3,0,4) \quad\text{e}\quad \Bigl(\tfrac{13}{3},\tfrac{4}{3},\tfrac{8}{3}\Bigr).

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