Sejam as retas r: X=(2,-1,0)+\lambda(1,2, a) e s: X=(0,3,1)+\mu(2, b, 4). Estude, segundo os valores de a e b, a posição relativa de r e s. No caso em que r e s são concorrentes, encontre o ponto de interseção entre as retas quando a=1.
Passo 1
O enunciado dá duas retas em \mathbb{R}^3: \displaystyle r:\;X=(2,-1,0)+\lambda\,(1,2,a) e \displaystyle s:\;X=(0,3,1)+\mu\,(2,b,4).
Queremos estudar a posição relativa dessas retas (paralelas, concorrentes ou reversas) em função de a e b. Se forem concorrentes, e no caso a=1, achar o ponto de interseção. Vamos usar produto vetorial para testar paralelismo e resolver o sistema de equações paramétricas para testar concorrência.
Passo 2
São paralelas se os vetores diretores v=(1,2,a) e w=(2,b,4) forem colineares, ou seja,
v\times w=(0,0,0).
Calculando
v\times w =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 1&2&a\\\\ 2&b&4 \end{vmatrix} =(8-ab)\,\mathbf{i}-(4-2a)\,\mathbf{j}+(b-4)\,\mathbf{k}.
Para anular todos os componentes é necessário
8-ab=0,\quad 4-2a=0,\quad b-4=0.
Dessas equações vem a=2, b=4 e ab=8 se satisfaz automaticamente. Logo, para
a=2\quad\text{e}\quad b=4
as retas são paralelas. Verifica-se também que não coincidem (basta ver que (0,3,1) não pertence a r).
Passo 3
Se não são paralelas, para testar concorrência a diferença de pontos iniciais \displaystyle D=(0,3,1)-(2,-1,0)=(-2,4,1)\)
deve satisfazer
\[(-2,4,1)=\lambda(1,2,a)-\mu(2,b,4).
Para a=2 e b=4: retas paralelas distintas.
Para b\neq4 e a=\tfrac{36-b}{2(b+4)}: retas concorrentes.
Nos demais casos: retas reversas.
Quando a=1, temos b=\tfrac{28}{3} e o ponto de interseção é (-3,-11,-5).