1. Sejam as retas r: X=(2,-1,0)+\lambda(1,2, a) e s: X=(0,3,1)+\mu(2, b, 4). Estude, segundo os valores de a e b, a posição relativa de r e s. No caso em que r e s são concorrentes, encontre o ponto de interseção entre as retas quando a=1.

Passo 1

O enunciado dá duas retas em \mathbb{R}^3: \displaystyle r:\;X=(2,-1,0)+\lambda\,(1,2,a) e \displaystyle s:\;X=(0,3,1)+\mu\,(2,b,4).
Queremos estudar a posição relativa dessas retas (paralelas, concorrentes ou reversas) em função de a e b. Se forem concorrentes, e no caso a=1, achar o ponto de interseção. Vamos usar produto vetorial para testar paralelismo e resolver o sistema de equações paramétricas para testar concorrência.

Passo 2

São paralelas se os vetores diretores v=(1,2,a) e w=(2,b,4) forem colineares, ou seja,
v\times w=(0,0,0).
Calculando
v\times w =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 1&2&a\\\\ 2&b&4 \end{vmatrix} =(8-ab)\,\mathbf{i}-(4-2a)\,\mathbf{j}+(b-4)\,\mathbf{k}.
Para anular todos os componentes é necessário
8-ab=0,\quad 4-2a=0,\quad b-4=0.
Dessas equações vem a=2, b=4 e ab=8 se satisfaz automaticamente. Logo, para
a=2\quad\text{e}\quad b=4
as retas são paralelas. Verifica-se também que não coincidem (basta ver que (0,3,1) não pertence a r).

Passo 3

Se não são paralelas, para testar concorrência a diferença de pontos iniciais \displaystyle D=(0,3,1)-(2,-1,0)=(-2,4,1)\) deve satisfazer \[(-2,4,1)=\lambda(1,2,a)-\mu(2,b,4).
Isso gera o sistema
\begin{cases} -2=\lambda-2\mu,\\\\ 4=2\lambda-b\mu,\\\\ 1=a\lambda-4\mu. \end{cases}
Da primeira equação (\lambda=-2+2\mu]. Substituindo na segunda,
4=2(-2+2\mu)-b\mu\;\Longrightarrow\;(4-b)\mu=8\quad\bigl(b\neq4\bigr),
\mu=\frac{8}{4-b},\quad \lambda=-2+2\,\frac{8}{4-b}=\frac{2(b+4)}{4-b}.
Para que também a terceira seja atendida, deve valer
1=a\,\lambda-4\mu =\frac{2a(b+4)-32}{4-b},
isto é,
2a(b+4)-32=4-b \quad\Longrightarrow\quad 2a(b+4)=36-b \quad\Longrightarrow\quad a=\frac{36-b}{2(b+4)}\quad\bigl(b\neq-4,\,b\neq4\bigr).
Sob essa condição as retas se intersectam.

Passo 4

Recapitulando a posição relativa:
  1. Se a=2 e b=4, então v\parallel w e as retas são paralelas distintas.
  2. Se b\neq4 e a=\tfrac{36-b}{2(b+4)}, então as retas são concorrentes.
  3. Em quaisquer outros valores de a,b as retas não são paralelas nem concorrentes, logo são reversas (skew).

Passo 5

No caso a=1, para serem concorrentes precisamos
1=\frac{36-b}{2(b+4)} \quad\Longrightarrow\quad 2(b+4)=36-b \quad\Longrightarrow\quad 3b=28 \quad\Longrightarrow\quad b=\frac{28}{3}.
Então
\mu=\frac{8}{4-\tfrac{28}{3}} =\frac{8}{-\tfrac{16}{3}} =-\frac{3}{2}, \quad \lambda=-2+2\mu=-2-3=-5.
O ponto de interseção é dado em r por
X=(2,-1,0)+(-5)\,(1,2,1)=(-3,-11,-5).

Resposta

Para a=2 e b=4: retas paralelas distintas.
Para b\neq4 e a=\tfrac{36-b}{2(b+4)}: retas concorrentes.
Nos demais casos: retas reversas.
Quando a=1, temos b=\tfrac{28}{3} e o ponto de interseção é (-3,-11,-5).

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