Q16: Seja
um conjunto de 3 vetores distintos de
. Sejam
. Considere as afirmativas abaixo:
I - Se
é LI, então
pode ser LD.
II - Se
é LD, então
pode ser LI.
III - Se
não são colineares, então
é LI.
(A) Todas são verdadeiras.
(B) Apenas I e III são verdadeiras.
(C) Apenas I é verdadeira.
(D) Apenas III é verdadeira.
(E) Apenas II é verdadeira.
(F) Apenas I e II são verdadeiras.
(G) Todas são falsas.
(H) Apenas II e III são verdadeiras.
I - Se
II - Se
III - Se
(A) Todas são verdadeiras.
(B) Apenas I e III são verdadeiras.
(C) Apenas I é verdadeira.
(D) Apenas III é verdadeira.
(E) Apenas II é verdadeira.
(F) Apenas I e II são verdadeiras.
(G) Todas são falsas.
(H) Apenas II e III são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado trata de um conjunto
e de seus subconjuntos
,
e
. Queremos analisar se cada uma das afirmativas sobre independência linear (LI), dependência linear (LD) e colinearidade é verdadeira ou falsa. Lembrete:
– Um conjunto de vetores é LI se nenhum deles pode ser escrito como combinação linear dos outros.
– Vetores são colineares se todos estão na mesma reta (1-dimensão).
– Um conjunto de vetores é LI se nenhum deles pode ser escrito como combinação linear dos outros.
– Vetores são colineares se todos estão na mesma reta (1-dimensão).
Passo 2
Afirmativa I: “Se
é LI, então
pode ser LD.”
Se e
são LI, basta escolher
como combinação linear deles para tornar
LD.
Por exemplo, ,
são LI, e definindo
temos
LD.
Logo, I é verdadeira.
Se
Por exemplo,
Logo, I é verdadeira.
Passo 3
Afirmativa II: “Se
é LD, então
pode ser LI.”
Se é LD, pode acontecer que apenas
seja combinação de
e
, enquanto
continua LI.
O exemplo do passo anterior mostra isso: LD com
ainda LI.
Portanto, II é verdadeira.
Se
O exemplo do passo anterior mostra isso:
Portanto, II é verdadeira.
Passo 4
Afirmativa III: “Se
não são colineares, então
é LI.”
Não colineares significa que não estão todos numa mesma reta, mas ainda podem estar num mesmo plano e, nesse caso, ser LD.
Contraexemplo: ,
,
não são colineares (não estão numa mesma reta), porém
implica
LD.
Logo, III é falsa.
Não colineares significa que não estão todos numa mesma reta, mas ainda podem estar num mesmo plano e, nesse caso, ser LD.
Contraexemplo:
Logo, III é falsa.
Resposta
(F) Apenas I e II são verdadeiras.