Q16: Seja S=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} um conjunto de 3 vetores distintos de \mathbb{R}^{3}. Sejam A=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}\right\}, B=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{3}\right\}, C=\left\{\vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\}. Considere as afirmativas abaixo:
I - Se A é LI, então S pode ser LD.
II - Se S é LD, então A pode ser LI.
III - Se \vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3} não são colineares, então S é LI.
(A) Todas são verdadeiras.
(B) Apenas I e III são verdadeiras.
(C) Apenas I é verdadeira.
(D) Apenas III é verdadeira.
(E) Apenas II é verdadeira.
(F) Apenas I e II são verdadeiras.
(G) Todas são falsas.
(H) Apenas II e III são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado trata de um conjunto S=\{\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3\}\subset\mathbb{R}^3 e de seus subconjuntos A=\{\vec v_1,\vec v_2\}, B e C. Queremos analisar se cada uma das afirmativas sobre independência linear (LI), dependência linear (LD) e colinearidade é verdadeira ou falsa. Lembrete:
– Um conjunto de vetores é LI se nenhum deles pode ser escrito como combinação linear dos outros.
– Vetores são colineares se todos estão na mesma reta (1-dimensão).

Passo 2

Afirmativa I: “Se A é LI, então S pode ser LD.”
Se \vec v_1 e \vec v_2 são LI, basta escolher \vec v_3 como combinação linear deles para tornar S LD.
Por exemplo, \vec v_1=(1,0,0), \vec v_2=(0,1,0) são LI, e definindo \vec v_3=\vec v_1+\vec v_2 temos S LD.
Logo, I é verdadeira.

Passo 3

Afirmativa II: “Se S é LD, então A pode ser LI.”
Se S é LD, pode acontecer que apenas \vec v_3 seja combinação de \vec v_1 e \vec v_2, enquanto \{\vec v_1,\vec v_2\} continua LI.
O exemplo do passo anterior mostra isso: S LD com \vec v_1,\vec v_2 ainda LI.
Portanto, II é verdadeira.

Passo 4

Afirmativa III: “Se \vec v_1,\vec v_2,\vec v_3 não são colineares, então S é LI.”
Não colineares significa que não estão todos numa mesma reta, mas ainda podem estar num mesmo plano e, nesse caso, ser LD.
Contraexemplo: \vec v_1=(1,0,0), \vec v_2=(0,1,0), \vec v_3=(1,1,0) não são colineares (não estão numa mesma reta), porém \vec v_3=\vec v_1+\vec v_2 implica S LD.
Logo, III é falsa.

Resposta

(F) Apenas I e II são verdadeiras.

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