Encontre os números críticos da funçāo.
ll (x) =0 & (a) f(x)=5 x^2+4 x x+4=0 & (b) f(x)=x^3+3 x^2-24 x x=-4 & (c) g(y)=y-1y^2-y+1 =-410=-25 & (d) f(theta)=2 cos (theta)+sen(theta)^2 & (e) f(theta)=4 theta-tg(theta)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrarmos os números críticos de várias funções. Números críticos são os pontos onde a derivada da função é zero ou não existe, e onde a própria função está definida. Para isso, vamos precisar usar o conceito de derivadas da matéria de cálculo diferencial.

Passo 2

Parte (a) - f'(x) = ddx(5x^2) + ddx(4x) = 10x + 4

Primeiro, vamos encontrar a derivada de 10x + 4 = 0 10x = -4 x = -410 = -25 . A derivada nos mostra a inclinação da função em qualquer ponto.
A derivada de é:
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos onde a inclinação é zero:

Passo 3

Parte (b) - f'(x) = ddx(x^3) + ddx(3x^2) + ddx(-24x) = 3x^2 + 6x - 24

Vamos calcular a derivada de 3x^2 + 6x - 24 = 0 Divide-se toda a equação por 3: x^2 + 2x - 8 = 0 :
x = -2 pm raiz(2)^2 - 4 cdot 1 cdot (-8)2 cdot 1 = -2 pm raiz4 + 322 = -2 pm raiz362 x = -2 pm 62 x = 2 ou x = -4
Igualando a derivada a zero:
çã
Resolvendo a equação quadrática:

Passo 4

Parte © - g'(y) = (1)(y^2 - y + 1) - (y - 1)(2y - 1)(y^2 - y + 1)^2

Primeiro, calculamos a derivada de y^2 - y + 1 - (2y^2 - y - 2y + 1) = y^2 - y + 1 - 2y^2 + y + 1 = -y^2 + 2 usando a regra do quociente:
g'(y) = -y^2 + 2(y^2 - y + 1)^2
Simplificando o numerador:
-y^2 + 2 = 0 y^2 = 2 y = raiz2 ou y = -raiz2
Então,
Igualando a derivada a zero:

Passo 5

Parte (d) - f'(theta) = -2 sin(theta) + 2 sin(theta) cos(theta)

Calculamos a derivada de f'(theta) = 2 sin(theta)(cos(theta) - 1) :
2 sin(theta)(cos(theta) - 1) = 0
Simplificando:
sin(theta) = 0 Rightarrow theta = npi cos(theta) = 1 Rightarrow theta = 2npi
Igualando a derivada a zero:
Portanto, ou .
Resolvendo:
onde é inteiro.

Passo 6

Parte (e) - f'(theta) = 4 - sec^2(theta)

Calculamos a derivada de 4 - sec^2(theta) = 0 sec^2(theta) = 4 cos^2(theta) = 14 cos(theta) = pm 12 :
theta = pi3 + 2npi ou theta = 5pi3 + 2npi
Igualando a derivada a zero:
Portanto,
onde é inteiro.

Resposta

Os números críticos das funções são:
  • (a)
  • (b) e
  • © e
  • (d) onde é inteiro
  • (e) e onde é inteiro

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