Encontre a Transformada de Laplace inversa de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a Transformada de Laplace inversa de $ F(s) = \frac{1}{s{4}\left(s{2}+9\right)} $. Para isso, vamos usar o conteúdo de Transformadas de Laplace e Frações Parciais. Isso vai ajudar a quebrar a expressão complicada em partes mais fáceis de lidar.
Passo 2
Primeiro, vamos separar $ F(s) $ em frações parciais. Isso significa escrever $ F(s) $ como a soma de termos mais simples que a gente já conhece a transformada inversa. Para $ F(s) = \frac{1}{s{4}\left(s{2}+9\right)} $, assumimos uma forma geral:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os valores de $ A, B, C, D, E $ e $ F $. Multiplicamos ambos os lados por $ s{4}(s{2} + 9) $ para eliminar os denominadores:
Expandindo e agrupando os termos por potências de $ s $, igualamos os coeficientes de cada potência de $ s $ de ambos os lados da equação. Após resolver o sistema de equações, obtemos:
Passo 4
Com os coeficientes encontrados, nossa expressão de frações parciais fica:
Passo 5
Agora, aplicamos a Transformada de Laplace inversa em cada termo separadamente. Sabemos que:
Aplicando esses resultados:
Simplificando:
Resposta
A Transformada de Laplace inversa de $ F(s) $ é: