Encontre a Transformada de Laplace inversa de
F(s)=1s^4(s^2+9)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a Transformada de Laplace inversa de $ F(s) = \frac{1}{s{4}\left(s{2}+9\right)} $. Para isso, vamos usar o conteúdo de Transformadas de Laplace e Frações Parciais. Isso vai ajudar a quebrar a expressão complicada em partes mais fáceis de lidar.

Passo 2

Primeiro, vamos separar $ F(s) $ em frações parciais. Isso significa escrever $ F(s) $ como a soma de termos mais simples que a gente já conhece a transformada inversa. Para $ F(s) = \frac{1}{s{4}\left(s{2}+9\right)} $, assumimos uma forma geral:
F(s)

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de $ A, B, C, D, E $ e $ F $. Multiplicamos ambos os lados por $ s{4}(s{2} + 9) $ para eliminar os denominadores:
A, B, C, D, E
Expandindo e agrupando os termos por potências de $ s $, igualamos os coeficientes de cada potência de $ s $ de ambos os lados da equação. Após resolver o sistema de equações, obtemos:
F

Passo 4

Com os coeficientes encontrados, nossa expressão de frações parciais fica:
1s^4(s^2+9) = 181s - 281s^3 + 19(s^2 + 9)

Passo 5

Agora, aplicamos a Transformada de Laplace inversa em cada termo separadamente. Sabemos que:
L^-11s = 1, L^-11s^3 = t^22, L^-11s^2 + 9 = 13sin(3t)
Aplicando esses resultados:
f(t) = 181 cdot 1 - 281 cdot t^22 + 19 cdot 13sin(3t)
Simplificando:
f(t) = 181 - t^281 + 127sin(3t)

Resposta

A Transformada de Laplace inversa de $ F(s) $ é:
F(s)

Exercícios relacionados