Expresse a solução do PVI em função de uma convolução:
y^prime prime+y=g(t), y(0)=0, y^prime(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver um Problema de Valor Inicial (PVI) da seguinte forma:
y^prime prime + y = g(t), y(0) = 0, y^prime(0) = 1
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem. O objetivo é expressar a solução dessa equação usando uma convolução. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre soluções de equações diferenciais e o conceito de convolução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma equação diferencial linear de segunda ordem como essa pode ser resolvida encontrando a solução geral, que é a soma da solução homogênea (associada à equação sem o termo g(t)) e uma solução particular (devido ao termo g(t)).
A equação homogênea associada é:
y^prime prime + y = 0
Vamos resolver essa equação primeiro.

Passo 3

Para resolver a equação homogênea y^prime prime + y = 0, encontramos as raízes características:
r^2 + 1 = 0 Rightarrow r = pm i
Isso nos dá as soluções complexas, que podem ser expressas em termos de funções trigonométricas reais:
yh(t) = C1 cos(t) + C2 sin(t)
Onde C1 e C2 são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular yp(t) para a equação completa y^prime prime + y = g(t). Para isso, vamos usar o conceito de Resolução por convolução.
A ideia é que a solução particular pode ser expressa como a convolução da função impulso g(t) com a resposta ao impulso do sistema, que no caso da nossa equação é a função que resolve:
y^prime prime + y = de
A solução dessa equação é conhecida como a função de Green G(t).

Passo 5

Primeiro, encontramos a função de Green G(t) resolvendo:
G^prime prime(t) + G(t) = de
As condições iniciais para G(t) geralmente são G(0) = 0 e G^prime(0) = 1, que garantem continuidade e descontinuidade adequadas nas derivadas.
Resolvendo essa equação, encontramos que:
G(t) = sin(t) cdot H(t)
Onde H(t) é a função degrau de Heaviside, que é 0 para t < 0 e 1 para t >= 0.

Passo 6

Com a função de Green em mãos, a solução particular yp(t) é dada pela convolução de G(t) com g(t):
yp(t) = (G * g)(t) = integral0^t G(t - tau) g(tau) , dtau = integral0^t sin(t - tau) g(tau) , dtau

Passo 7

Agora, juntamos a solução homogênea com a particular para obter a solução geral:
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 cos(t) + C2 sin(t) + integral0^t sin(t - tau) g(tau) , dtau

Passo 8

Aplicamos as condições iniciais para determinar as constantes C1 e C2. Sabemos que:
y(0) = 0 Rightarrow C1 = 0
y^prime(0) = 1 Rightarrow C2 = 1

Passo 9

Substituindo C1 = 0 e C2 = 1 na solução geral, temos:
y(t) = sin(t) + integral0^t sin(t - tau) g(tau) , dtau

Resposta

A solução do PVI em função de uma convolução é:
y(t) = sin(t) + integral0^t sin(t - tau) , g(tau) , dtau

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