Expresse a solução do PVI em função de uma convolução:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver um Problema de Valor Inicial (PVI) da seguinte forma:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem. O objetivo é expressar a solução dessa equação usando uma convolução. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre soluções de equações diferenciais e o conceito de convolução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma equação diferencial linear de segunda ordem como essa pode ser resolvida encontrando a solução geral, que é a soma da solução homogênea (associada à equação sem o termo
) e uma solução particular (devido ao termo
).
A equação homogênea associada é:
Vamos resolver essa equação primeiro.
Passo 3
Para resolver a equação homogênea
, encontramos as raízes características:
Isso nos dá as soluções complexas, que podem ser expressas em termos de funções trigonométricas reais:
Onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Para isso, vamos usar o conceito de Resolução por convolução.
A ideia é que a solução particular pode ser expressa como a convolução da função impulso
com a resposta ao impulso do sistema, que no caso da nossa equação é a função que resolve:
A solução dessa equação é conhecida como a função de Green
.
Passo 5
Primeiro, encontramos a função de Green
resolvendo:
As condições iniciais para
geralmente são
e
, que garantem continuidade e descontinuidade adequadas nas derivadas.
Resolvendo essa equação, encontramos que:
Onde
é a função degrau de Heaviside, que é 0 para
e 1 para
.
Passo 6
Com a função de Green em mãos, a solução particular
é dada pela convolução de
com
:
Passo 7
Agora, juntamos a solução homogênea com a particular para obter a solução geral:
Passo 8
Aplicamos as condições iniciais para determinar as constantes
e
. Sabemos que:
Passo 9
Substituindo
e
na solução geral, temos:
Resposta
A solução do PVI em função de uma convolução é: