Para as funções abaixo: Encontre os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente e classifique os pontos de máximos e mínimos, se existirem. Esboce o gráfico: f(x)=x^3+3 x^2-24 x

Passo 1

O enunciado pede para estudar a monotonicidade e classificar extremos de f(x)=x3+3x2−24x, usando derivadas para encontrar onde a função é crescente ou decrescente e depois determinar máximos e mínimos locais e esboçar o gráfico.

Passo 2

Para achar os pontos críticos e estudar monotonicidade, calculamos a derivada de f. A derivada é
f'(x)=3x^2+6x-24=3,(x+4),(x-2)

Passo 3

Com f’(x) em mãos, encontramos suas raízes resolvendo (x+4)(x−2)=0, ou seja, x=−4 e x=2. Esses são os candidatos a extremos. Em seguida, analisamos o sinal de f’(x) em cada intervalo determinado por esses pontos:
  • Para x<−4, escolhemos x=−5: f’(−5)=3,(−1), (−7)>0 ⇒ f crescente em (−∞,−4).
  • Para −4<x<2, escolhemos x=0: f’(0)=−24<0 ⇒ f decrescente em (−4,2).
  • Para x>2, escolhemos x=3: f’(3)=3,(7), (1)>0 ⇒ f crescente em (2,∞).

Passo 4

Como f cresce antes de x=−4 e decresce depois, em x=−4 há um máximo local. Como f decresce antes de x=2 e cresce depois, em x=2 há um mínimo local. Calculamos os valores:
f(-4)=(-4)^3+3(-4)^2−24(-4)=-64+48+96=80,
f(2)=2^3+3·2^2−24·2=8+12−48=-28

Passo 5

Para esboçar o gráfico, lembramos que f é um polinômio cúbico com coeficiente líder positivo, cruza o eixo x em x≈-6.62, x=0 e x≈3.62, tem máximo em (-4,80) e mínimo em (2,-28), cresce novamente para x→∞ e decresce para x→−∞.

Resposta

f é crescente em (-∞, -4) e (2, ∞), decrescente em (-4, 2). Há um máximo local em x = -4 com f(-4) = 80 e um mínimo local em x = 2 com f(2) = -28.

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