Encontre os números criticos da função.
f(theta)=theta+raiz2 cos theta

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os números críticos da função
f(theta)=theta+raiz2,cos(theta)
Lembrando que números críticos são os valores de theta onde a derivada f'(theta) é zero ou não existe.

Passo 2

Calculamos a derivada usando regras de derivação de soma e de cosseno:
f'(theta)=ddthetal(thetar)+ddthetal(raiz2costhetar) =1-raiz2sin(theta)

Passo 3

Verificamos se há pontos em que f'(theta) não exista. Como sin(theta) é contínua em todo R, temos que f'(theta) existe para todo theta.

Passo 4

Para achar onde f'(theta)=0, resolvemos
1-raiz2sin(theta)=0
o que leva a
sin(theta)=1raiz2

Passo 5

As soluções gerais de sin(theta)=tfrac1raiz2 são
theta = pi4+2pi k e theta = 3pi4+2pi k, kinZ

Resposta

theta = pi4+2pi k ou theta = 3pi4+2pi k, kinZ

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