Verifique a regra da cadeia d hd t=partial fpartial x d xd t+partial fpartial y d yd t para as funções:
f(x, y)=cos (3 x-2 y), x=sen(t), y=cos (t)

Passo 1

Temos h(t)=f(x(t),y(t)) com
f(x,y)=cos(3x-2y), x(t)=sin(t), y(t)=cos(t)
O conteúdo é a regra da cadeia em várias variáveis:
dhdt =partial fpartial x,dxdt +partial fpartial y,dydt

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f. Seja u=3x-2y. Então
partial fpartial x =ddxcos(u) =-sin(u),partial upartial x =-sin(3x-2y)cdot 3 =-3sin(3x-2y),
partial fpartial y =ddycos(u) =-sin(u),partial upartial y =-sin(3x-2y)cdot(-2) =2sin(3x-2y)

Passo 3

Derivamos x(t) e y(t) em relação a t:
dxdt=ddtsin(t)=cos(t), dydt=ddtcos(t)=-sin(t)

Passo 4

Substituindo na regra da cadeia:
dhdt =(-3sin(3x-2y))cos(t) +(2sin(3x-2y))(-sin(t)) =-3cos(t),sin(3x-2y) -2sin(t),sin(3x-2y)
Agora colocamos x=sin(t) e y=cos(t):
dhdt =-sinl(3sin(t)-2cos(t)r),l(3cos(t)+2sin(t)r)

Passo 5

Para conferir, podemos ver h(t)=cosl(3sin(t)-2cos(t)r). Chamando
U(t)=3sin(t)-2cos(t),
temos
dUdt =3cos(t)+2sin(t), dhdt =-sinl(U(t)r),U'(t),
que coincide exatamente com o resultado acima. Regra da cadeia verificada!

Resposta

dhdt =-sinl(3sin(t)-2cos(t)r),l(3cos(t)+2sin(t)r)

Exercícios relacionados