Determine
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar
. Informação relevante fornecida:
- A função é
. - Para aplicar logaritmos naturais é preciso lembrar que
está definido para . Portanto, a manipulação com será feita assumindo .
O que se quer: encontrar a expressão deem função de .
Passo 2
Estratégia (explicação didática rápida): aqui é conveniente usar diferenciação por logaritmo (log-diferenciação). A ideia é aplicar o logaritmo natural em ambos os lados para transformar a potência onde a variável aparece na base e no expoente em um produto, o que facilita a diferenciação.
Aplicando
em ambos os lados:
Usando a propriedade dos logaritmos
, temos:
Passo 3
Agora diferenciamos implicitamente em relação a
. Explico as regras que uso:
- Regra da cadeia: se
, então . - Regra do produto: se
e são funções, . - Derivada de
é .
Aplicando a derivação em
:
Esquerda (usando regra da cadeia):
Direita (produto
):
Portanto, a equação derivada fica:
Passo 4
Isolar
: multiplica-se ambos os lados por
:
Como
foi dado inicialmente como
, substitui-se de volta para expressar a derivada em termos de
:
Passo 5
Pequeno exemplo numérico para fixar: em
,
Resumo do método usado: log-diferenciação + regra da cadeia + regra do produto — é uma técnica muito útil quando a variável aparece tanto na base quanto no expoente. Força aí, você já consegue repetir esse procedimento na prova!