Determine \frac{d y}{d x}.
y=x^{x}

Passo 1

O enunciado dá a função \,y = x^{x}\, e pede para determinar \dfrac{dy}{dx}. Informação relevante fornecida:
  • A função é \,y = x^{x}\,.
  • Para aplicar logaritmos naturais é preciso lembrar que \ln(x) está definido para x>0. Portanto, a manipulação com \ln será feita assumindo x>0.
    O que se quer: encontrar a expressão de \dfrac{dy}{dx} em função de x.

Passo 2

Estratégia (explicação didática rápida): aqui é conveniente usar diferenciação por logaritmo (log-diferenciação). A ideia é aplicar o logaritmo natural em ambos os lados para transformar a potência onde a variável aparece na base e no expoente em um produto, o que facilita a diferenciação.
Aplicando \ln em ambos os lados:
\ln y = \ln\big(x^{x}\big).
Usando a propriedade dos logaritmos \ln(a^{b}) = b\ln a, temos:
\ln y = x\,\ln x.

Passo 3

Agora diferenciamos implicitamente em relação a x. Explico as regras que uso:
  • Regra da cadeia: se u=v(x), então \dfrac{d}{dx}\ln(u)=\dfrac{1}{u}\dfrac{du}{dx}.
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, \dfrac{d}{dx}\big(u v\big)=u'\,v+u\,v'.
  • Derivada de \ln x é \dfrac{1}{x}.
Aplicando a derivação em \ln y = x\ln x:
Esquerda (usando regra da cadeia):
\frac{d}{dx}\big(\ln y\big)=\frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx}.
Direita (produto x\cdot\ln x):
\frac{d}{dx}\big(x\ln x\big)=\frac{d}{dx}(x)\cdot\ln x + x\cdot\frac{d}{dx}(\ln x)=1\cdot\ln x + x\cdot\frac{1}{x}=\ln x + 1.
Portanto, a equação derivada fica:
\frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx} = \ln x + 1.

Passo 4

Isolar \dfrac{dy}{dx}: multiplica-se ambos os lados por y:
\frac{dy}{dx} = y\big(\ln x + 1\big).
Como y foi dado inicialmente como y = x^{x}, substitui-se de volta para expressar a derivada em termos de x:
\frac{dy}{dx} = x^{x}\big(\ln x + 1\big).

Passo 5

Pequeno exemplo numérico para fixar: em x=2,
\frac{dy}{dx}\Big|_{x=2} = 2^{2}\big(\ln 2 + 1\big) = 4\big(\ln 2 + 1\big).
Resumo do método usado: log-diferenciação + regra da cadeia + regra do produto — é uma técnica muito útil quando a variável aparece tanto na base quanto no expoente. Força aí, você já consegue repetir esse procedimento na prova!

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=x^{x}\big(\ln x + 1\big)

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