Encontre os números críticos da função
f(x)=3 x-\operatorname{arcsen}(x)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os números críticos da função
f(x)=3x - \arcsin(x),
ou seja, todos os x no domínio de f em que f'(x)=0 ou f'(x) é indefinida. Para isso precisamos:
  1. Determinar o domínio de f.
  2. Calcular f'(x).
  3. Ver onde f'(x)=0 e onde f'(x) não existe.

Passo 2

Como \arcsin(x) só está definida para -1 \le x \le 1, o domínio de f é
[-1,1].

Passo 3

Vamos derivar f. Sabemos que \frac{d}{dx}(\arcsin(x)) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}. Logo
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(3x\bigr) \;-\;\frac{d}{dx}\bigl(\arcsin(x)\bigr) = 3 \;-\;\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}.

Passo 4

Para achar onde f'(x)=0, resolvemos
3 - \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} = 3 \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{1 - x^2} = \frac{1}{3}.
Elevando ao quadrado:
1 - x^2 = \frac{1}{9} \quad\Longrightarrow\quad x^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \quad\Longrightarrow\quad x = \pm \frac{\sqrt{8}}{3} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}.

Passo 5

Verificamos também onde f'(x) é indefinida. Como \sqrt{1 - x^2} no denominador anula em x = \pm1, f'(x) não existe em
x = -1 \quad\text{e}\quad x = 1.
Esses pontos pertencem ao domínio como extremos do intervalo.

Passo 6

Reunindo as soluções internas f'(x)=0 e as indefinições de f', obtemos os números críticos em [-1,1]:
x = -1,\quad x = -\frac{2\sqrt{2}}{3},\quad x = \frac{2\sqrt{2}}{3},\quad x = 1.

Resposta

Os números críticos são
-1,\; -\frac{2\sqrt{2}}{3},\; \frac{2\sqrt{2}}{3},\; 1.

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