Encontre os valores máximos e mínimos absolutos no intervalo dado:
f(x)=2 \operatorname{sen}(x)+\cos (2 x)., [0,2 \pi]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os máximos e mínimos absolutos da função
f(x)=2\sin(x)+\cos(2x)
no intervalo fechado [0,2\pi].
O conteúdo aqui é cálculo de extremos absolutos: em um intervalo fechado devemos (i) calcular f'(x), (ii) achar os pontos críticos onde f'(x)=0 ou f' não existe, e (iii) comparar os valores de f nesses pontos críticos e nos extremos do intervalo.

Passo 2

Vamos calcular a derivada de f.
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2\sin x\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(\cos(2x)\bigr) =2\cos x -2\sin(2x).
Usando a identidade \sin(2x)=2\sin x\cos x, obtemos
f'(x)=2\cos x -2\bigl(2\sin x\cos x\bigr) =2\cos x\bigl(1-2\sin x\bigr).

Passo 3

Os pontos críticos vêm de f'(x)=0\): \[2\cos x\bigl(1-2\sin x\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} \cos x=0,\\\\ 1-2\sin x=0. \end{cases}
No intervalo [0,2\pi]\] isso dá \[\cos x=0\;\Longrightarrow\;x=\tfrac{\pi}{2},\;\tfrac{3\pi}{2}, \qquad \sin x=\tfrac12\;\Longrightarrow\;x=\tfrac{\pi}{6},\;\tfrac{5\pi}{6}.\] Além disso incluímos os extremos do intervalo \(x=0 e x=2\pi.

Passo 4

Agora avaliamos f em todos esses pontos:
\begin{aligned} f(0)&=2\sin(0)+\cos(0)=0+1=1,\\\ f(2\pi)&=2\sin(2\pi)+\cos(4\pi)=0+1=1,\\\ f\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)&=2\sin\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)+\cos\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr) =2\cdot\tfrac12+\tfrac12=\tfrac32,\\\ f\bigl(\tfrac{5\pi}{6}\bigr)&=2\sin\bigl(\tfrac{5\pi}{6}\bigr)+\cos\bigl(\tfrac{5\pi}{3}\bigr) =2\cdot\tfrac12+\tfrac12=\tfrac32,\\\ f\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)&=2\sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)+\cos(\pi) =2\cdot1+(-1)=1,\\\ f\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)&=2\sin\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)+\cos(3\pi) =2\cdot(-1)+(-1)=-3. \end{aligned}

Passo 5

Comparando os valores calculados, vemos que o maior valor é \tfrac32 obtido em x=\tfrac{\pi}{6} e x=\tfrac{5\pi}{6}, e o menor valor é -3 obtido em x=\tfrac{3\pi}{2}.

Resposta

O máximo absoluto de f em [0,2\pi] é
f_{\max}=\tfrac32 \quad\text{em }x=\tfrac{\pi}{6}\text{ e }x=\tfrac{5\pi}{6},
e o mínimo absoluto é
f_{\min}=-3 \quad\text{em }x=\tfrac{3\pi}{2}.

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