Responda os seguintes itens:
a) Mostre que a série de funções \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^{2 n-1}}{x^{2 n}+n^{5}} é uniformemente convergente em [0,1].
b) Se f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} é a função dada por f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^{2 n-1}}{x^{2 n}+n^{5}}, calcule \int_{0}^{1} f(x) d x.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n-1}}{x^{2n}+n^{5}}
em [0,1] e pede:
a) mostrar que a série converge uniformemente em [0,1],
b) calcular \displaystyle\int_{0}^{1}f(x)\,dx.
Vamos usar o Teste de Weierstrass para (a) e troca soma–integração seguida de uma substituição para (b).

Passo 2

Para x\in[0,1] temos
0\le x^{2n-1}\le1, \quad x^{2n}+n^5\ge n^5,
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0\le\frac{x^{2n-1}}{x^{2n}+n^{5}}\le\frac{1}{n^{5}}.
Como \sum_{n=1}^\infty \tfrac1{n^5} converge, pelo Teste de Weierstrass a série dada converge uniformemente em [0,1].

Passo 3

Pela convergência uniforme, f é integrável e podemos trocar soma e integral:
\int_{0}^{1}f(x)\,dx =\sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{1}\frac{x^{2n-1}}{x^{2n}+n^{5}}\,dx.

Passo 4

Calculemos \displaystyle I_n=\int_{0}^{1}\frac{x^{2n-1}}{x^{2n}+n^{5}}\,dx.
Faça a substituição
t = x^{2n}, \quad dt = 2n\,x^{2n-1}\,dx \;\Longrightarrow\; x^{2n-1}\,dx = \frac{dt}{2n},
com t variando de 0 a 1. Então
I_n =\int_{0}^{1}\frac{x^{2n-1}}{x^{2n}+n^{5}}\,dx =\frac{1}{2n}\int_{0}^{1}\frac{dt}{t+n^{5}} =\frac{1}{2n}\Bigl[\ln(t+n^{5})\Bigr]_{0}^{1} =\frac{1}{2n}\ln\!\Bigl(\frac{n^{5}+1}{n^{5}}\Bigr) =\frac{1}{2n}\ln\!\Bigl(1+\frac{1}{n^{5}}\Bigr).

Passo 5

Juntando,
\int_{0}^{1}f(x)\,dx =\sum_{n=1}^{\infty}I_n =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n}\ln\!\Bigl(1+\frac{1}{n^{5}}\Bigr).

Resposta

\int_{0}^{1}f(x)\,dx =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n}\ln\!\Bigl(1+\frac{1}{n^{5}}\Bigr).

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