Responda os seguintes itens:
a) Mostre que a série de funções
é uniformemente convergente em
.
b) Se
é a função dada por
, calcule
.
a) Mostre que a série de funções
b) Se
Passo 1
O enunciado define a função
em
e pede:
a) mostrar que a série converge uniformemente em ,
b) calcular .
Vamos usar o Teste de Weierstrass para (a) e troca soma–integração seguida de uma substituição para (b).
a) mostrar que a série converge uniformemente em
b) calcular
Vamos usar o Teste de Weierstrass para (a) e troca soma–integração seguida de uma substituição para (b).
Passo 2
Para
temos
logo
Como
converge, pelo Teste de Weierstrass a série dada converge uniformemente em
.
Passo 3
Pela convergência uniforme,
é integrável e podemos trocar soma e integral:
Passo 4
Calculemos
.
Faça a substituição
Faça a substituição
com
variando de
a
. Então
Passo 5
Juntando,