Encontre os números críticos da função.
g(x)=x^{2} \ln x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os números críticos da função
g(x)=x^{2}\ln x.
O conteúdo envolve derivar g usando a regra do produto e depois achar onde g'(x)=0 ou não existe. Como \ln x só está definido para x>0, o domínio de g é (0,\infty).

Passo 2

Derivamos g aplicando a regra do produto a x^{2} e \ln x:
g'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)\cdot\ln x + x^{2}\cdot\frac{d}{dx}(\ln x) =2x\ln x + x^{2}\cdot\frac{1}{x}.
Simplificando,
g'(x)=2x\ln x + x = x\bigl(2\ln x + 1\bigr).

Passo 3

Para achar os pontos onde g'(x)=0, resolvemos
x\bigl(2\ln x + 1\bigr)=0.
Como x=0 não pertence ao domínio, impomos
2\ln x + 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \ln x = -\tfrac{1}{2} \quad\Longrightarrow\quad x = e^{-\tfrac{1}{2}}.

Passo 4

Verificamos que g'(x) está bem definida para todo x>0, portanto não há outros pontos onde a derivada seja indefinida. Assim, o único número crítico de g em (0,\infty) é
x = e^{-\tfrac{1}{2}}.

Resposta

x = e^{-\tfrac{1}{2}}

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