Esboce e calcule a área delimitada pelas seguintes curvas:
y=3 x-1 e y=3-x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para esboçar e calcular a área da região limitada pelas curvas
y = 3x - 1
e
y = 3 - x^2.
O conteúdo é cálculo de área entre curvas, que envolve:
  1. Encontrar os pontos de interseção das curvas.
  2. Determinar qual delas é a “superior” no intervalo de integração.
  3. Configurar e calcular a integral da diferença y_{\text{topo}} - y_{\text{fundo}}.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção, igualamos as equações:
3x - 1 = 3 - x^2
x^2 + 3x - 4 = 0.
Resolvendo pela fórmula de Bhaskara,
x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4\cdot1\cdot(-4)}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{-3 \pm 5}{2},
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x_1 = 1, \quad x_2 = -4.

Passo 3

Para saber qual curva está acima entre x=-4 e x=1, escolhemos um ponto teste, por exemplo x=0:
y_{\text{reta}}(0) = 3\cdot0 -1 = -1, \quad y_{\text{parábola}}(0) = 3 - 0^2 = 3.á
Como 3 > -1, a parábola y = 3 - x^2 fica acima da reta y = 3x - 1 nesse intervalo.

Passo 4

A área pedida é
\text{Área} = \int_{x=-4}^{\,1}\bigl[\,(3 - x^2) - (3x - 1)\bigr]\,dx = \int_{-4}^{1}\bigl(-x^2 - 3x + 4\bigr)\,dx.Á

Passo 5

Calculamos a integral indefinida:
\int(-x^2 - 3x + 4)\,dx = -\frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 4x + C.

Passo 6

Agora avaliamos de -4 a 1:
\Bigl[-\tfrac{x^3}{3} - \tfrac{3x^2}{2} + 4x\Bigr]_{-4}^{1} = \Bigl(-\tfrac{1^3}{3} - \tfrac{3\cdot1^2}{2} + 4\cdot1\Bigr) - \Bigl(-\tfrac{(-4)^3}{3} - \tfrac{3\cdot(-4)^2}{2} + 4\cdot(-4)\Bigr).
Calculando cada parte:
\text{em }x=1:\; -\tfrac{1}{3} - \tfrac{3}{2} + 4 = \frac{13}{6},
\text{em }x=-4:\; -\Bigl(-\tfrac{-64}{3} - \tfrac{3\cdot16}{2} -16\Bigr) = -\Bigl(\tfrac{64}{3} -24 -16\Bigr) = -\Bigl(\tfrac{64}{3} -40\Bigr) = -\Bigl(\tfrac{64-120}{3}\Bigr) = \tfrac{56}{3}.
Então
\text{Área} = \frac{13}{6} + \frac{56}{3} = \frac{13}{6} + \frac{112}{6} = \frac{125}{6}.Á

Resposta

A área da região limitada é \displaystyle \frac{125}{6}.

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