Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de f no intervalo dado.
f(x)=12+4 x-x^{2}, \quad[0,5]

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=12+4x - x^{2}
no intervalo [0,5] e pede os extremos absolutos. Para isso, vamos usar o teste de derivada (encontrar pontos críticos) e também avaliar os valores nos extremos do intervalo.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira:
f'(x)=\frac{d}{dx}(12+4x - x^{2}) = 4 - 2x.
Igualando a zero para achar pontos críticos:
4 - 2x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 2.
Como a derivada segunda é
f''(x)=\frac{d}{dx}(4-2x) = -2 < 0,
isso indica que x=2 é um ponto de máximo local.

Passo 3

Agora avaliamos f nos pontos críticos e nos extremos do intervalo:
f(2)=12 + 4\cdot 2 - 2^{2}=12+8-4=16,
f(0)=12 + 4\cdot 0 - 0^{2}=12,
f(5)=12 + 4\cdot 5 - 5^{2}=12+20-25=7.

Passo 4

Comparando os valores:
  • f(2)=16 é o maior;
  • f(5)=7 é o menor;
logo, o máximo absoluto ocorre em x=2 e o mínimo absoluto em x=5.

Resposta

Máximo absoluto: 16 em x=2.
Mínimo absoluto: 7 em x=5.

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