Encontre os números criticos da função.
h(t)=t^34-2 t^1 / 4

Passo 1

O enunciado pede os números críticos de h(t)=t^34-2t^1/4. Isso envolve derivar h, achar onde h'(t)=0 ou onde h' não existe, e verificar o domínio da função.

Passo 2

Observamos que t^1/4 só está definido para t>=0. Logo o domínio de h é [0,infty). Qualquer t em [0,infty) onde h'(t)=0 ou h'(t) não exista será número crítico.

Passo 3

Vamos derivar h. Usando a regra de potência,
h'(t)=ddtl(t^34r)-2ddtl(t^1/4r) =34,t^33-2cdot14,t^14-1 =34,t^33-tfrac12,t^-3/4
Repare que em t=0 o termo t^-3/4 explode, logo h'(0) não existe, fazendo de t=0 um número crítico.

Passo 4

Agora achamos os zeros de h' para t>0:
34,t^33-tfrac12,t^-3/4=0
Isolando,
34,t^33=tfrac12,t^-3/4 Longrightarrow 34,t^33+34=tfrac12
Como 33+tfrac34=tfrac132+34=tfrac1354, temos
34,t^135/4=tfrac12 Longrightarrow t^135/4=168
Resolvendo para t:
t=l(tfrac168r)^4135
Esse valor é positivo e pertence ao domínio, sendo, portanto, o outro número crítico.

Resposta

Os números críticos de h são
t=0 e t=l(tfrac168r)^tfrac4135

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