Encontre os números criticos da função.
q(t)=t^2+9t^2-9

Passo 1

O enunciado pede os números críticos da função racional
q(t)=t^2+9t^2-9
O conteúdo aqui é derivação de funções por quociente e definição de número crítico, que diz que são pontos do domínio onde q'(t)=0 ou onde q'(t) não existe.

Passo 2

Primeiro identificamos o domínio de q. O denominador não pode ser zero, logo
t^2-9neq0 Longrightarrow tneqpm3
Portanto o domínio é Rsetminus,-3,3.

Passo 3

Vamos calcular a derivada usando a regra do quociente. Para
q(t)=u(t)v(t),
com u(t)=t^2+9 e v(t)=t^2-9, vale
q'(t) =u'(t),v(t)-u(t),v'(t)l(v(t)r)^2 =2t,(t^2-9)-(t^2+9),2t(t^2-9)^2
No numerador fatoramos 2t:
2tl(t^2-9-(t^2+9)r) =2t,(t^2-9-t^2-9) =2tcdot(-18) =-36t
Logo
q'(t)=-36t(t^2-9)^2

Passo 4

Os pontos onde q'(t)=0 vêm de zerar o numerador:
-36t=0 Longrightarrow t=0
Como 0 pertence ao domínio ( 0neqpm3), é um número crítico.

Passo 5

Verificamos também onde q'(t) não existe: ocorre quando o denominador (t^2-9)^2=0, isto é em t=pm3. Porém esses pontos já não estão no domínio de q, então não entram como números críticos.

Resposta

O único número crítico de q é
t=0

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