4^a Questão : Seja f(x)=4 xx^2+1. Pede-se:
a) (2 pontos) Determine o domínio de f.
b) (2 pontos) Determine os pontos de interseção do gráfico de f com os eixos coordenados, se existirem.
c) (6 pontos) Verifique que f não possui assíntotas verticais em seu gráfico. Verifique também que a reta y=0 é a única assíntota horizontal de seu gráfico.
d) (15 pontos) Sabendo-se que f^prime(x)=-4 x^2+4(x^2+1)^2, determine os pontos (números) críticos de f, os intervalos de crescimento e decrescimento e os pontos de máximo e mínimo locais, se existirem.
e) (10 pontos) Sabendo-se que f^prime prime(x)=8 x(x^2-3)(x^2+1)^3, faça um estudo da concavidade e determine os pontos de inflexão, se existirem.
f) (5 pontos) Esboce o gráfico de f.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=4xx^2+1
e pede análise completa: (a) domínio, (b) interceptos, (c) assíntotas, (d) monoticidade e extremos usando
f'(x)=-4x^2+4(x^2+1)^2,
(e) concavidade e pontos de inflexão usando
f''(x)=8x(x^2-3)(x^2+1)^3,
(f) esboço do gráfico.

Passo 2

Para o domínio, exigimos x^2+1neq0. Mas x^2+1>=1 para todo x, nunca se anula. Logo
Dom(f)=R

Passo 3

Interceptos: com o eixo x ocorre quando f(x)=0, ou seja 4x=0implies x=0. Com o eixo y toma-se x=0, dando f(0)=0. Há apenas o ponto
(0,0)

Passo 4

Assíntotas verticais surgem de singularidades, mas não há x que anule o denominador, então não existem assíntotas verticais. Para horizontais, calculamos
limxtopminftyf(x)=limxtopminfty4xx^2+1 =limxtopminfty4x+tfrac1x=0
Logo a reta y=0 é a única assíntota horizontal.

Passo 5

Zeros de f'(x):
-4x^2+4=0implies x=pm1
O sinal de f'(x)=4(1-x^2)/(x^2+1)^2 é:
  • f'<0 em (-infty,-1) e (1,infty) (decresce).
  • f'>0 em (-1,1) (cresce).
    Portanto x=-1 é mínimo local e x=1 é máximo local.
    Valores:
f(-1)=-42=-2, f(1)=42=2

Passo 6

Zeros de f''(x)=8x(x^2-3)/(x^2+1)^3: x=0,pmraiz3. O sinal de x(x^2-3) dá:
  • Concavidade para baixo em (-infty,-raiz3) e (0,raiz3).
  • Concavidade para cima em (-raiz3,0) e (raiz3,infty).
    Há pontos de inflexão em
(-raiz3,f(-raiz3))=l(-raiz3,-raiz3r),; (0,0),; (raiz3,raiz3)

Passo 7

Esboço do gráfico:
  • Simétrico ímpar em torno da origem.
  • Decresce de (-infty,0) até o mínimo em (-1,-2), depois cresce até o máximo em (1,2), então decresce para yto0 quando xtoinfty.
  • Muda de concavidade nos pontos de inflexão em x=-raiz3,0,raiz3.
  • Assíntota horizontal em y=0.

Resposta

a) Dom(f)=R
b) Interseções: apenas em (0,0).
c) Sem assíntotas verticais; reta y=0 é a única assíntota horizontal.
d) Pontos críticos x=pm1; cresce em (-1,1), decresce em (-infty,-1)cup(1,infty); mínimo local em (-1,-2), máximo local em (1,2).
e) Concava para baixo em (-infty,-raiz3)cup(0,raiz3), côncava para cima em (-raiz3,0)cup(raiz3,infty); pontos de inflexão em l(-raiz3,-raiz3r), (0,0), l(raiz3,raiz3r).
f) Esboço conforme descrição: curva ímpar, mínimo em (-1,-2), máximo em (1,2), assíntota y=0, inflexões em x=-raiz3,0,raiz3.

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