Questão : Seja
. Pede-se:
a) (2 pontos) Determine o domínio de
.
b) (2 pontos) Determine os pontos de interseção do gráfico de
com os eixos coordenados, se existirem.
c) (6 pontos) Verifique que
não possui assíntotas verticais em seu gráfico. Verifique também que a reta
é a única assíntota horizontal de seu gráfico.
d) (15 pontos) Sabendo-se que
, determine os pontos (números) críticos de
, os intervalos de crescimento e decrescimento e os pontos de máximo e mínimo locais, se existirem.
e) (10 pontos) Sabendo-se que
, faça um estudo da concavidade e determine os pontos de inflexão, se existirem.
f) (5 pontos) Esboce o gráfico de
.
a) (2 pontos) Determine o domínio de
b) (2 pontos) Determine os pontos de interseção do gráfico de
c) (6 pontos) Verifique que
d) (15 pontos) Sabendo-se que
e) (10 pontos) Sabendo-se que
f) (5 pontos) Esboce o gráfico de
Passo 1
O enunciado define a função
e pede análise completa: (a) domínio, (b) interceptos, (c) assíntotas, (d) monoticidade e extremos usando
(e) concavidade e pontos de inflexão usando
(f) esboço do gráfico.
Passo 2
Para o domínio, exigimos
. Mas
para todo
, nunca se anula. Logo
Passo 3
Interceptos: com o eixo
ocorre quando
, ou seja
. Com o eixo
toma-se
, dando
. Há apenas o ponto
Passo 4
Assíntotas verticais surgem de singularidades, mas não há
que anule o denominador, então não existem assíntotas verticais. Para horizontais, calculamos
Logo a reta
é a única assíntota horizontal.
Passo 5
Zeros de
:
O sinal de
é:
-
em e (decresce). -
em (cresce).
Portantoé mínimo local e é máximo local.
Valores:
Passo 6
Zeros de
:
. O sinal de
dá:
- Concavidade para baixo em
e . - Concavidade para cima em
e .
Há pontos de inflexão em
Passo 7
Esboço do gráfico:
- Simétrico ímpar em torno da origem.
- Decresce de
até o mínimo em , depois cresce até o máximo em , então decresce para quando . - Muda de concavidade nos pontos de inflexão em
. - Assíntota horizontal em
.
Resposta
a)
b) Interseções: apenas em .
c) Sem assíntotas verticais; reta é a única assíntota horizontal.
d) Pontos críticos ; cresce em
, decresce em
; mínimo local em
, máximo local em
.
e) Concava para baixo em , côncava para cima em
; pontos de inflexão em
,
,
.
f) Esboço conforme descrição: curva ímpar, mínimo em , máximo em
, assíntota
, inflexões em
.
b) Interseções: apenas em
c) Sem assíntotas verticais; reta
d) Pontos críticos
e) Concava para baixo em
f) Esboço conforme descrição: curva ímpar, mínimo em