Encontre os números criticos da função.
p(x)=x^2+22 x-1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os números críticos da função
p(x)=x^2+22x-1
Este problema envolve dois pontos principais: (i) determinar o domínio de p para saber onde a derivada faz sentido e (ii) usar a regra do quociente para calcular p'(x) e achar onde p'(x)=0 (e eventualmente onde p'(x) não existe).

Passo 2

Primeiro, o domínio de p é dado por todas as x tais que o denominador não zere. Logo,
2x-1neq0 Longrightarrow xneq12
Portanto, p não está definida em x=tfrac12.

Passo 3

Agora aplicamos a regra do quociente:
p'(x) =(2x),(2x-1)-(x^2+2),2(2x-1)^2
Aqui usamos que a derivada de x^2+2 é 2x e a derivada de 2x-1 é 2.

Passo 4

Simplificando o numerador:
(2x)(2x-1)-2(x^2+2) =4x^2-2x-2x^2-4 =2x^2-2x-4 =2,(x^2-x-2) =2,(x-2),(x+1)
Logo,
p'(x) =2,(x-2),(x+1)(2x-1)^2

Passo 5

Os números críticos são os x em que p'(x)=0 ou em que p'(x) não existe, desde que estejam no domínio de p.
1 p'(x)=0
2,(x-2),(x+1)=0 Longrightarrow x=2ou x=-1
2 p'(x) não existe quando 2x-1=0, i.e.\ x=tfrac12, mas esse ponto não pertence ao domínio de p, então não entra como número crítico.

Resposta

Os números críticos de p são
x=-1 e x=2

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