Seja f(x, y)=raiz3 x+2 y, determine:
a) a inclinação da superfície z=f(x, y) na direção x no ponto (4,2)
b) a inclinação da superfície z=f(x, y) na direção y no ponto (4,2)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=raiz3x+2y
e pede a inclinação da superfície z=f(x,y) nas direções dos eixos x e y no ponto (4,2). Para isso vamos usar derivadas parciais, que medem a taxa de variação de f quando apenas uma variável se altera.

Passo 2

Calculamos a derivada parcial de f em relação a x. Escrevendo f(x,y)=(3x+2y)^1/2, pelo teorema da cadeia temos
fx(x,y) =12(3x+2y)^-1/2cdotpartialpartial x(3x+2y) =12(3x+2y)^-1/2cdot 3 =32raiz3x+2y

Passo 3

Agora avaliamos fx em (4,2). Primeiro note que
3cdot4+2cdot2=12+4=16,
logo raiz3x+2y|(4,2)=raiz16=4. Assim
fx(4,2)=32cdot4 =38

Passo 4

De modo semelhante, a derivada parcial em relação a y é
fy(x,y) =12(3x+2y)^-1/2cdotpartialpartial y(3x+2y) =12(3x+2y)^-1/2cdot 2 =1raiz3x+2y

Passo 5

Avaliando em (4,2), onde já vimos que raiz3x+2y=4, temos
fy(4,2)=14

Resposta

a) 38
b) 14

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