Encontre números a e b que façam com que a função g seja diferenciável em 1 .
a x^3-3 x & se x <= 1 b x^2+2 & se x>1

Passo 1

O enunciado dá a função
g(x)= a x^3-3 x, & x<=1, b x^2+2, & x>1,
e pede para encontrar a e b de modo que g seja diferenciável em x=1. Para isso precisamos garantir (i) continuidade em x=1 e (ii) igualdade das derivadas laterais em x=1.

Passo 2

Continuaridade em x=1 exige
limxto1^-g(x)=limxto1^+g(x)
Da definição,
limxto1^-g(x)=acdot1^3-3cdot1=a-3,
limxto1^+g(x)=bcdot1^2+2=b+2
Logo a condição de continuidade é
a-3 = b+2 Longrightarrow a - b = 5

Passo 3

Diferenciabilidade em x=1 exige derivadas laterais iguais:
g'-(1)=g'+(1)
Para x<1, g'(x)=3ax^2-3, logo
g'-(1)=3acdot1^2-3=3a-3
Para x>1, g'(x)=2bx, logo
g'+(1)=2bcdot1=2b
Assim a condição é
3a-3 = 2b Longrightarrow 3a - 2b = 3

Passo 4

Resolvendo o sistema
a - b = 5, 3a - 2b = 3,
multiplicamos a primeira equação por 2 e subtraímos:
2a-2b=10 e 3a-2b=3 ;Longrightarrow; a = 3-10 = -7
Substituindo em a-b=5, vem
-7 - b = 5 Longrightarrow b = -12

Resposta

a=-7,;b=-12

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