Exemplo 5: Encontre uma solução geral de
.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação
Este é um caso clássico de equação de Euler–Cauchy (ou equidimensional). Para resolvê-la, vamos assumir uma solução do tipo
e obter a equação característica em
.
Passo 2
Suponha
Então
Substituindo na equação diferencial:
Como
(para
), obtemos a equação característica
Passo 3
Desenvolvendo a característica:
As raízes são
Passo 4
Quando as raízes são complexas
, a solução geral real da equação de Euler–Cauchy é
Aqui
e
, logo
Resposta
onde
e
são constantes arbitrárias.