Exemplo 5: Encontre uma solução geral de x^2 y^prime prime+7 x y^prime+13 y=0.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação
x^2y'' + 7x,y' + 13y = 0
Este é um caso clássico de equação de Euler–Cauchy (ou equidimensional). Para resolvê-la, vamos assumir uma solução do tipo y = x^r e obter a equação característica em r.

Passo 2

Suponha
y = x^r
Então
y' = r,x^r-1, y'' = r(r-1),x^r-2
Substituindo na equação diferencial:
x^2l[r(r-1)x^r-2r] + 7xl[r x^r-1r] + 13,x^r = 0
implies l[r(r-1) + 7r + 13r],x^r = 0
Como x^rneq0 (para x>0), obtemos a equação característica
r(r-1) + 7r + 13 = 0

Passo 3

Desenvolvendo a característica:
r^2 - r + 7r + 13 = 0 Longrightarrow r^2 + 6r + 13 = 0
As raízes são
r = -6 pm raiz6^2 - 4cdot1cdot132 = -6 pm raiz-162 = -3 pm 2,i

Passo 4

Quando as raízes são complexas r = alpha pm beta,i, a solução geral real da equação de Euler–Cauchy é
y = x^alphal(C1cosl(betaln xr) + C2sinl(betaln xr)r)
Aqui alpha = -3 e beta = 2, logo
y = x^-3l(C1cosl(2ln xr) + C2sinl(2ln xr)r)

Resposta

y(x) = x^-3l(C1cosl(2ln xr) + C2sinl(2ln xr)r),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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