Seja f: R R uma função definida por f(x)=1-3 x. Prove que:
lim x 2(1-3 x)=-5.

Passo 1

O enunciado define a função
fcolon RtoR, f(x)=1-3x
e pede para provar que
limxto2f(x)=-5
Vamos usar a definição de limite finito: dizemos que limxto2f(x)=-5 se, para todo varepsilon>0, existe de<a>0 tal que, sempre que 0<|x-2|<de<a, temos |f(x)-(-5)|<varepsilon.

Passo 2

Começamos avaliando a expressão |f(x)-(-5)|:
|f(x)-(-5)| = |1-3x +5| = |6 - 3x|

Passo 3

Fatorando 3 em |6-3x| e reorganizando, obtemos
|6 - 3x| = 3,|2 - x| = 3,|x - 2|

Passo 4

Para que |f(x)-(-5)|<varepsilon seja garantido, basta exigir
3,|x - 2| < varepsilon Long<=ftrightarrow |x - 2| < varepsilon3

Passo 5

Logo, dada qualquer varepsilon>0, escolha
de<a = varepsilon3
Então, sempre que 0<|x-2|<de<a, segue
|f(x)-(-5)| = 3,|x-2| < 3de<a = varepsilon,
o que prova a condição da definição de limite.

Resposta

limxto2(1-3x) = -5

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