l a) y^prime prime prime+12 y^prime prime+36 y^prime=0 y(1)=0, y^prime(1)=1, y^prime prime(1)=-7

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes
y''' + 12y'' + 36y' = 0
sujeita às condições iniciais em x=1:
y(1)=0, y'(1)=1, y''(1)=-7
Para resolver, vamos usar o método do polinômio característico, obter a solução geral com raízes possivelmente repetidas, calcular derivadas, aplicar as condições iniciais e determinar as constantes.

Passo 2

Formamos o polinômio característico trocando y^(n) por r^n:
r^3 + 12r^2 + 36r = r,(r^2 + 12r + 36) = r,(r+6)^2 = 0
As raízes são r=0 (simples) e r=-6 (de multiplicidade 2). Logo a solução geral é
y(x) = C1 + C2 e^-6x + C3,x,e^-6x

Passo 3

Calculamos as derivadas necessárias:
y'(x) = ddxl[C1 + C2 e^-6x + C3 x e^-6xr] = e^-6x(-6C2 + C3 -6C3 x),
y''(x) = ddxl[e^-6x(-6C2 + C3 -6C3 x)r] = e^-6xl(36C2 -12C3 +36C3 xr)

Passo 4

Aplicando as condições em x=1:
  1. y(1)=0
C1 + e^-6(C2 + C3) = 0
  1. y'(1)=1
e^-6l(-6C2 -5C3r) = 1 Longrightarrow -6C2 -5C3 = e^6
  1. y''(1)=-7
e^-6(36C2 +24C3) = -7 Longrightarrow 36C2 +24C3 = -7e^6

Passo 5

Resolvendo o sistema
-6C2 -5C3 = e^6, 36C2 +24C3 = -7e^6,
multiplicamos a primeira equação por 6:
-36C2 -30C3 = 6e^6,
somando à segunda:
(-36C2 +36C2) +(-30C3+24C3) = 6e^6 -7e^6 ;Longrightarrow; -6C3 = -e^6 ;Longrightarrow; C3 = tfrac16e^6
Substituindo em -6C2 -5C3 = e^6:
-6C2 - tfrac56e^6 = e^6 ;Longrightarrow; -6C2 = tfrac116e^6 ;Longrightarrow; C2 = -tfrac1136e^6

Passo 6

Da condição y(1)=0:
C1 + e^-6(C2 + C3) = 0 ;Longrightarrow; C1 = -e^-6l(-tfrac1136e^6 + tfrac16e^6r) = tfrac536
Substituindo C1,C2,C3 na solução geral e simplificando, obtemos
y(x) = 536 + e^-6xl(-1136e^6 + 16e^6,xr) = 536 + 6x - 1136,e^6(1-x)

Resposta

boxedy(x) ;=; 536 ;+;6x - 1136,e^6(1-x)

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