Mostre que:
1+n \leq 2^{n}, \forall n \geq 0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
1 + n \le 2^n
para todo inteiro n \ge 0. O conteúdo usado será o princípio de indução finita.

Passo 2

Base de indução ( n=0).
Calculamos
1 + 0 = 1
e
2^0 = 1.
Como 1 \le 1, a desigualdade vale para n=0.

Passo 3

Hipótese de indução.
Suponha que para algum k \ge 0 já valha
1 + k \le 2^k.

Passo 4

Passo indutivo ( k\to k+1).
Começamos com
1 + (k+1) = (1 + k) + 1.
Pela hipótese de indução,
(1 + k) + 1 \le 2^k + 1.
Como 2^k \ge 1 para todo k\ge0, segue
2^k + 1 \le 2^k + 2^k = 2 \cdot 2^k = 2^{\,k+1}.
Logo
1 + (k+1) \le 2^{\,k+1}.

Passo 5

Pelo princípio da indução, concluímos que
1 + n \le 2^n
para todo n \ge 0.

Resposta

A desigualdade \,1 + n \le 2^n vale para todo inteiro n \ge 0.

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