Suponha que a matriz aumentada de um sistema linear tenha sido transformada na seguinte matriz por operações elementares. Continue o processo de resolução e descreva o conjunto solução do sistema original.
(c) \left[\begin{array}{cccc}1 & -4 & 9 & 0 \\\\ 0 & 1 & 7 & 0 \\\\ 0 & 0 & 2 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz aumentada já transformada por operações elementares e pede para continuar o processo de resolução e descrever o conjunto solução do sistema original. A matriz fornecida é
\left[\begin{array}{cccc} 1 & -4 & 9 & 0 \\\\ 0 & 1 & 7 & 0 \\\\ 0 & 0 & 2 & 0 \end{array}\right].
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • É uma matriz aumentada de um sistema linear com três incógnitas \,x_1,x_2,x_3, (as três primeiras colunas) e a última coluna é o lado direito (vetor de termos constantes).
  • A última coluna tem todos os zeros, logo trata-se de um sistema homogêneo.
  • A matriz já está em forma escalonada (triangular superior), faltando apenas simplificar para resolver as incógnitas.

Passo 2

Interpretação da matriz aumentada e o que cada linha representa. Cada linha corresponde a uma equação linear do sistema; lendo a matriz:
  • Primeira linha dá a equação \,1\cdot x_1 -4\cdot x_2 +9\cdot x_3 = 0.
  • Segunda linha dá a equação \,0\cdot x_1 +1\cdot x_2 +7\cdot x_3 = 0, isto é \,x_2 +7x_3 = 0.
  • Terceira linha dá a equação \,0\cdot x_1 +0\cdot x_2 +2\cdot x_3 = 0, isto é \,2x_3 = 0.
Antes de substituir, é útil obter pivôs iguais a 1 quando possível (forma reduzida) para ler diretamente as soluções.

Passo 3

Normalizar a terceira linha dividindo-a por \,2 para obter o pivô igual a \,1. Aplicando a operação:
\text{(R3)} \leftarrow \frac{1}{2}\text{(R3)}
fica
\left[\begin{array}{cccc} 1 & -4 & 9 & 0 \\\\ 0 & 1 & 7 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right].
Agora a terceira linha representa \,x_3 = 0.

Passo 4

Resolver por substituição a partir da última equação para cima (back substitution). Da terceira linha temos:
x_3 = 0.
Substituindo na segunda linha \,x_2 + 7x_3 = 0 obtemos
x_2 + 7\cdot 0 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_2 = 0.
Substituindo x_2 e x_3 na primeira linha \,x_1 -4x_2 +9x_3 = 0 obtemos
x_1 -4\cdot 0 +9\cdot 0 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_1 = 0.

Passo 5

Interpretação estrutural: a matriz tem pivôs nas três colunas correspondentes a \,x_1,x_2,x_3. Isso significa que não há variáveis livres e o sistema homogêneo tem apenas a solução trivial. Em termos de espaço de soluções, o conjunto solução é o subespaço que contém somente o vetor nulo.

Resposta

\{(0,0,0)\}

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