Suponha que a matriz aumentada de um sistema linear tenha sido transformada na seguinte matriz por operações elementares. Continue o processo de resolução e descreva o conjunto solução do sistema original.
(c) \left[\begin{array}{cccc}1 & -4 & 9 & 0 \\\\ 0 & 1 & 7 & 0 \\\\ 0 & 0 & 2 & 0\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado dá a matriz aumentada já transformada por operações elementares e pede para continuar o processo de resolução e descrever o conjunto solução do sistema original. A matriz fornecida é
É uma matriz aumentada de um sistema linear com três incógnitas \,x_1,x_2,x_3, (as três primeiras colunas) e a última coluna é o lado direito (vetor de termos constantes).
A última coluna tem todos os zeros, logo trata-se de um sistema homogêneo.
A matriz já está em forma escalonada (triangular superior), faltando apenas simplificar para resolver as incógnitas.
Passo 2
Interpretação da matriz aumentada e o que cada linha representa. Cada linha corresponde a uma equação linear do sistema; lendo a matriz:
Primeira linha dá a equação \,1\cdot x_1 -4\cdot x_2 +9\cdot x_3 = 0.
Segunda linha dá a equação \,0\cdot x_1 +1\cdot x_2 +7\cdot x_3 = 0, isto é \,x_2 +7x_3 = 0.
Terceira linha dá a equação \,0\cdot x_1 +0\cdot x_2 +2\cdot x_3 = 0, isto é \,2x_3 = 0.
Antes de substituir, é útil obter pivôs iguais a 1 quando possível (forma reduzida) para ler diretamente as soluções.
Passo 3
Normalizar a terceira linha dividindo-a por \,2 para obter o pivô igual a \,1. Aplicando a operação:
Interpretação estrutural: a matriz tem pivôs nas três colunas correspondentes a \,x_1,x_2,x_3. Isso significa que não há variáveis livres e o sistema homogêneo tem apenas a solução trivial. Em termos de espaço de soluções, o conjunto solução é o subespaço que contém somente o vetor nulo.