Encontre uma operação sobre linhas que retorna a matriz elementar dada a uma matriz identidade.
(c) \left[\begin{array}{llll}0 & 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para descobrir qual operação elementar sobre linhas, aplicada à matriz identidade I_4, gera a matriz
E = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é entender que uma matriz elementar corresponde a uma operação de troca ou combinação de linhas de I_4.

Passo 2

Comparando I_4 com E, vemos que em E a primeira linha de I_4 foi parar na quarta posição e a quarta linha de I_4 foi parar na primeira posição, enquanto as linhas 2 e 3 ficaram inalteradas. Isso corresponde exatamente à operação de trocar a linha 1 com a linha 4:
R_1 \longleftrightarrow R_4.

Resposta

R_1 \leftrightarrow R_4

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