Nos Exercícios 5-7, use o método mostrado nos Exemplos 4 e 5 para encontrar a inversa da matriz dada se a matriz é invertível e confira sua resposta por multiplicação.
(b) \left[\begin{array}{rr}-3 & 6 \\\\ 4 & 5\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz
A = \begin{pmatrix} -3 & 6\\\\ 4 & 5 \end{pmatrix}
usando eliminação de Gauss (montando [A\mid I] e aplicando operações elementares) e depois conferir o resultado por multiplicação.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada e trocamos R_1 e R_2 para ter pivô mais simples:
[A\mid I] = \begin{pmatrix} -3 & 6 &\;\mid\;& 1 & 0\\\\ 4 & 5 &\;\mid\;& 0 & 1 \end{pmatrix} \;\xrightarrow{R_1\leftrightarrow R_2}\; \begin{pmatrix} 4 & 5 &\;\mid\;& 0 & 1\\\\ -3 & 6 &\;\mid\;& 1 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 3

Normalizamos R_1 dividindo por 4 e eliminamos o elemento abaixo do pivô:
R_1\gets\tfrac1{4}R_1 \quad\Rightarrow\quad \begin{pmatrix} 1 & \tfrac54 &\mid& 0 & \tfrac14\\\\ -3 & 6 &\mid& 1 & 0 \end{pmatrix},
R_2\gets R_2+3R_1 \quad\Rightarrow\quad \begin{pmatrix} 1 & \tfrac54 &\mid& 0 & \tfrac14\\\\ 0 & \tfrac{39}{4} &\mid& 1 & \tfrac34 \end{pmatrix}.

Passo 4

Normalizamos R_2 e eliminamos o elemento acima do segundo pivô:
R_2\gets\tfrac{4}{39}R_2 \quad\Rightarrow\quad \begin{pmatrix} 1 & \tfrac54 &\mid& 0 & \tfrac14\\\\ 0 & 1 &\mid& \tfrac{4}{39} & \tfrac{1}{13} \end{pmatrix},
R_1\gets R_1-\tfrac54\,R_2 \quad\Rightarrow\quad \begin{pmatrix} 1 & 0 &\mid& -\tfrac{5}{39} & \tfrac{2}{13}\\\\ 0 & 1 &\mid& \tfrac{4}{39} & \tfrac{1}{13} \end{pmatrix}.

Passo 5

A parte direita é A^{-1}. Podemos escrever
A^{-1} = \begin{pmatrix} -\tfrac{5}{39} & \tfrac{2}{13}\\\ \tfrac{4}{39} & \tfrac{1}{13} \end{pmatrix} = \tfrac1{39} \begin{pmatrix} -5 & 6\\\\ 4 & 3 \end{pmatrix}.

Passo 6

Conferimos multiplicando A por A^{-1}:
A\,A^{-1} =\tfrac1{39} \begin{pmatrix} -3 & 6\\\\ 4 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -5 & 6\\\\ 4 & 3 \end{pmatrix} =\tfrac1{39} \begin{pmatrix} 39 & 0\\\\ 0 & 39 \end{pmatrix} =I.

Resposta

A^{-1} =\tfrac1{39} \begin{pmatrix} -5 & 6\\\\ 4 & 3 \end{pmatrix}.

Exercícios relacionados