Nos Exercícios 5-7, use o método mostrado nos Exemplos 4 e 5 para encontrar a inversa da matriz dada se a matriz é invertível e confira sua resposta por multiplicação.
(a) \left[\begin{array}{ll}1 & 4 \\\\ 2 & 7\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz
A = \begin{pmatrix}1 & 4 \\[6pt] 2 & 7\end{pmatrix}
verificando depois por multiplicação. O conteúdo envolve verificar que A é invertível (determinante não nulo) e usar eliminação de Gauss–Jordan para obter A^{-1}.]

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada [A\mid I] e aplicamos operações de linha para transformar A em I:
\left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 4 & 1 & 0\\[6pt] 2 & 7 & 0 & 1 \end{array}\right]
  1. R_2 \gets R_2 - 2R_1 resulta em
\left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 4 & 1 & 0\\[6pt] 0 & -1 & -2 & 1 \end{array}\right]
  1. R_2 \gets -1\cdot R_2
\left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 4 & 1 & 0\\[6pt] 0 & 1 & 2 & -1 \end{array}\right]
  1. R_1 \gets R_1 - 4R_2 leva a
\left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & -7 & 4\\[6pt] 0 & 1 & 2 & -1 \end{array}\right]
Agora o lado esquerdo é I e o direito é exatamente A^{-1}.]

Passo 3

Vamos conferir multiplicando A por A^{-1}:
A^{-1} = \begin{pmatrix}-7 & 4 \\[3pt] 2 & -1\end{pmatrix}
A\,A^{-1} = \begin{pmatrix}1 & 4 \\[3pt] 2 & 7\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-7 & 4 \\[3pt] 2 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot(-7)+4\cdot2 & 1\cdot4+4\cdot(-1)\\[6pt] 2\cdot(-7)+7\cdot2 & 2\cdot4+7\cdot(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[3pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Como o produto dá a identidade, a inversa está correta.]

Resposta

A^{-1} = \begin{pmatrix}-7 & 4 \\[3pt] 2 & -1\end{pmatrix}.]

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