Sejam A e B matrizes n \times n. Decida se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa. Justifique cada resposta.
Nunca é verdade que A B=B A.

Passo 1

O enunciado considera duas matrizes quadradas A,B\in\mathbb{R}^{n\times n} e afirma que “nunca” ocorre AB=BA. O conteúdo aqui é a comutatividade (ou não) do produto de matrizes: em geral AB\neq BA, mas às vezes pode ocorrer igualdade.

Passo 2

Para refutar a afirmação basta um contraexemplo. Seja
A = I_n,
a matriz identidade de ordem n, e seja B qualquer matriz n\times n. Então
AB = I_n B = B \quad\text{e}\quad BA = B I_n = B,
logo AB = BA.

Passo 3

Como encontramos A e B tais que AB=BA, a afirmação “nunca é verdade que AB=BA” é falsa.

Resposta

Falsa.

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